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2013年高考新课标全国(I卷)文科数学试题及答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |x =n 2,n ∈A },则A ∩B =( ).A .{1,4}B .{2,3}C .{9,16}D .{1,2}2. 212i1i +(-)=( ).A .11i 2-- B .11+i 2- C .11+i 2 D .11i 2- 3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ).A .12B .13C .14 D .164.( ,文4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x ± D .y =±x5.( ,文5)已知命题p :∀x ∈R,2x <3x ;命题q :∃x ∈R ,x 3=1-x 2,则下列命题中为真命题的是( ). A .p ∧q B .⌝p ∧q C .p ∧⌝q D .⌝p ∧⌝q6.( ,文6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ).A .Sn =2an -1B .Sn =3an -2C .Sn =4-3anD .Sn =3-2an7.( ,文7)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]8.( ,文8)O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=则△POF 的面积为( ).A .2 B. C. D .49.( ,文9)函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为( ).10.( ,文10)已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,23cos 2A +cos 2A =0,a =7,c =6,则b =( ).A .10B .9C .8D .511.( ,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π12.( ,文12)已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是().A .(-∞,0]B .(-∞,1]C .[-2,1]D .[-2,0]第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.( ,文13)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =ta +(1-t )b .若b ·c =0,则t =______.14.( ,文14)设x ,y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15.( ,文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______.16.( ,文16)设当x =θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ=______.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.( ,文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18.( ,文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?19.( ,文19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.20.( ,文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.21.( ,文21)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.( ,文22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.23.( ,文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.( ,文24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:A解析:∵B ={x |x =n 2,n ∈A }={1,4,9,16},∴A ∩B ={1,4}.2.答案:B 解析:212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2-. 3.答案:B解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为13. 4.答案:C解析:∵e =c a =,即2254c a =. ∵c 2=a 2+b 2,∴2214b a =.∴12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a=±, ∴渐近线方程为12y x =±.故选C. 5.答案:B解析:由20=30知,p 为假命题.令h (x )=x 3-1+x 2,∵h (0)=-1<0,h (1)=1>0,∴x 3-1+x 2=0在(0,1)内有解.∴∃x ∈R ,x 3=1-x 2,即命题q 为真命题.由此可知只有⌝p ∧q 为真命题.故选B.6.答案:D 解析:11211321113n n n n a a a q a q S q q --(-)===---=3-2a n ,故选D.7.答案:A解析:当-1≤t <1时,s =3t ,则s ∈[-3,3).当1≤t ≤3时,s =4t -t 2.∵该函数的对称轴为t =2,∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.∴s max =4,s min =3.∴s ∈[3,4].综上知s ∈[-3,4].故选A.8.答案:C解析:利用|PF |=Px =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=故选C.9.答案:C解析:由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数.可排除B .当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时,f (x )>0,排除A. 当x ∈(0,π)时,f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0,得2π3x=. 故极值点为2π3x=,可排除D ,故选C. 10.答案:D解析:由23cos 2A +cos 2A =0,得cos 2A =125. ∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴cos A =15. ∵cos A =2364926b b +-⨯,∴b =5或135b =-(舍). 故选D.11.答案:A解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.V 半圆柱=12π×22×4=8π, V 长方体=4×2×2=16.所以所求体积为16+8π.故选A.12.答案:D解析:可画出|f (x )|的图象如图所示.当a >0时,y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点,所以排除B ,C ;当a ≤0时,若x >0,则|f (x )|≥ax 恒成立.若x ≤0,则以y =ax 与y =|-x 2+2x |相切为界限,由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0,∴a =-2.∴a ∈[-2,0].故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:2解析:∵b ·c =0,|a |=|b |=1,〈a ,b 〉=60°,∴a ·b =111122⨯⨯=. ∴b ·c =[ta +(1-t )b ]·b =0,即ta ·b +(1-t )b 2=0.∴12t +1-t =0. ∴t =2.14.答案:3解析:画出可行域如图所示.画出直线2x -y =0,并平移,当直线经过点A (3,3)时,z 取最大值,且最大值为z =2×3-3=3.15.答案:9π2解析:如图,设球O 的半径为R ,则AH =23R , OH =3R. 又∵π·EH 2=π,∴EH =1.∵在Rt △OEH 中,R 2=22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2.16.答案:解析:∵f (x )=sin x -2cos x x -φ),其中sin φ,cos φ当x -φ=2k π+π2(k ∈Z)时,f (x )取最大值. 即θ-φ=2k π+π2(k ∈Z),θ=2k π+π2+φ(k ∈Z).∴cos θ=πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-sin φ=. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)设{a n }的公差为d ,则S n =1(1)2n n na d -+.由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1=1,d =-1.故{a n }的通项公式为a n =2-n .(2)由(1)知21211n n a a -+=1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭, 从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭L =12n n-. 18.解:(1)设A 药观测数据的平均数为x ,B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得 x =120(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5) =2.3, y =120(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2) =1.6. 由以上计算结果可得x >y ,因此可看出A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A 药的疗效更好.19.(1)证明:取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B .因为CA =CB ,所以OC ⊥AB.由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)解:由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形,所以OC =OA 1=又A 1C,则A 1C 2=OC 2+21OA ,故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB =O ,所以OA 1⊥平面ABC ,OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高.又△ABC 的面积S △ABCABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3.20.解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4.由已知得f (0)=4,f ′(0)=4.故b =4,a +b =8.从而a =4,b =4.(2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x , f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=4(x +2)·1e2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )=0得,x =-ln 2或x =-2. 从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(-2,-ln 2)时,f ′(x )<0.故f (x )在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x =-2时,函数f (x )取得极大值,极大值为f (-2)=4(1-e -2).21.解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2的椭圆(左顶点除外),其方程为22=143x y +(x ≠-2). (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM |-|PN |=2R -2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R =2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x -2)2+y 2=4.若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB |=若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1||||QP R QM r =,可求得Q (-4,0),所以可设l :y =k (x +4).由l 与圆M=1,解得k=当k=4时,将4y x =代入22=143x y +,并整理得7x 2+8x -8=0,解得x 1,2=47-±,所以|AB||x2-x1|=18 7.当k=时,由图形的对称性可知|AB|=18 7.综上,|AB|=|AB|=18 7.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=2.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.23.解:(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x ∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )=1+a .不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3.所以x ≥a -2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立. 故2a-≥a -2,即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

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