3
范围
.
例
3：已知函数
f
x
x3
ax2
x
1a
R ，若函数
f
x
在区间
2 3
,
1 3
内单调递减，则 a
的取值范
围
.
例 4：已知函数 f (x) 1 x3 1 (2 a)x2 (1 a)x(a 0). 若 f (x) 在[0，1]上单调递增，则 a 的取值范围
.
32
例 5：已知函数 f (x) x3 ax 在 R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是
.
4
4
例 3：已知函数 f (x) 在 R 上满足 f (x) 2 f (2 x) x2 8x 8 ，则曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程
为（ ）
A. y 2x 1
B. y x
C. y 3x 2
D. y 2x 3
三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是 s=s（t），那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v=s′（t）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v（t），则该物体在时刻 t 的加速度 a=v′（t）。
例 3：已知 f x ln x ax ，讨论 y f x的单调性.
九、结合函数单调性和极值求参数范围
例 1：已知函数 f (x) 3x3 2x2 1在区间 m,0上是减函数，则 m 的取值范围是 .
例 2：已知函数 f x m x3 x2 x m R，函数 f x在区间 2, 内存在单调递增区间，则 m 的取值
A． (1, 0)
B． (2,8)
C． (1, 0) 和 (1, 4)
D． (2,8) 和 (1, 4)
例 2：若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4 y 8 0 垂直，则 l 的方程为（ ）
A． 4x y 3 0
B． x 4 y 5 0 C． 4x y 3 0
D． x 4 y 3 0
D． 0 D． 12
例 3：求 lim f (x0 h2 ) f (x0 )
h0
h
二、“隐函数”的求值
将 f '(x0 ) 当作一个常数对 f (x0 ) 进行求导，代入 x0 进行求值。
例 1：已知 f x x2 3xf 2，则 f 2
例 2：已知函数 f x f cos x sin x ，则 f 的值为
导数题型分类解析（中等难度）
一、变化率与导数
函数 y
f
(x0 ) 在 x 0 到 x 0 + x 之间的平均变化率，即
f
'
(
x0
)
=
lim
x0
y x
= lim x0
f (x0 Δx) Δx
f (x0 ) ，表
示函数 y f (x0 ) 在 x 0 点的斜率。注意增量的意义。
例 1：若函数
y
f
和差：( u v)' u ' v'.
乘积： (uv)' u 'v uv'.
除法：
u v
u'v v2
uv'
例 1：（1）函数 y x3 log2 x 的导数是
（2）函数 xne2x1 的导数是
六、复合函数的求导
f [(x)] f () *(x) ，从最外层的函数开始依次求导。
例 1：（1） y (1 cos 2x)3
例 1：一个物体的运动方程为 s 1 t t 2 其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，求物体在 3 秒末的瞬时速度。
例 2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ）
s
s
s
s
O
tO
tO
tO
t
A
B．
C．
D
．
．
.
例 6：已知函数 f x x2 a ln x ，若 gx f x 2 在 1,上是单调函数，求实数 a 的取值范围
x
例
7：如果函数
f
x
1 2
m
2x2
n
8x
1m
0，n
0
在区间
12 ，2
单调递减，则
mn
的最大值
为（
）
（A）16
（B）18
（C）25
（2） y sin2 1 x
七、切线问题
（曲线上的点求斜率） 例 1：曲线 y＝x3－2x＋4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
例：对正整数n,设曲线y xn 1 x在x 2处的切线与y轴的交点的纵坐标为an ,则
数列
an n
1的前n项和为S
(
x)
在区间
(a,
b)
内可导，且
x0
(a,
b)
则
lim
h0
f
( x0
h) h
f (x0
ห้องสมุดไป่ตู้
h)
的值为（
）
A． f ' (x0 )
B． 2 f ' (x0 )
C． 2 f ' (x0 )
例 2：若
f
' (x0 )
3 ，则 lim h0
f
( x0
h) f h
( x0
3h)
（
）
A. 3
B． 6
C． 9
八、函数的单调性 （无参函数的单调性）
例 1：证明：函数 f (x) ln x 在区间（0，2）上是单调递增函数. x
（带参函数的单调性）
例 1：已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ，讨论 f (x) 的 l单n 调x 性； x
例 2：已知函数 f (x) x3 ax2 b(a, b R) ，讨论 f (x) 的单调性；
四、基本导数的求导公式
① C 0; （C 为常数） ② xn nxn1; ③ (sin x) cos x ; ④ (cos x) sin x ;
⑤ (ex ) ex ;
⑥ (ax ) ax ln a ; ⑦ ln x 1 ;
x
⑧ l o ga
x
1 x
loga
e
.
例 1：下列求导运算正确的是 (
n
_________ .
（曲线外的点求斜率）
例 1：已知曲线 y x2 ，则过点 P(1, 3) ，且与曲线相切的直线方程为 .
例 2：求过点（-1，-2）且与曲线 y 2x x3 相切的直线方程.
（切线与直线的位置关系）
例 1：曲线 f (x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4x - 1，则 p0 点的坐标为（ ）
)
A． x 1 x
1 1 x2
B． log2
x
=
1 x ln 2
C． 3x 3x log3 e D． x2 cos x 2x sin x
例 2：若
f0 x sin x,
f1 x
f0 x,
f2 x
f1 x,，fn1x
f
n
x,
n
N
，则
f 2005 x
五、导数的运算法则
常数乘积： (Cu)' Cu '.