【例1】
（2）可用铅垂法，当点D坐标为()
2,6
-时，△ADE面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）
①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．
∵AE
=
1
AP AH=3
，∴
1
PH
故(1P-
、(21,
P-．
②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．
过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，
34
P M P M
===
，故(31,2
P-
-、(41,2
P---．
③当P A=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点．
设()
5
1,
P m
-，()()
22
2
5
140
P A m
=-++-，()()
22
2
5
=102
P E m
--++
∴()2
2921
m m
+=++，解得：m=1．
故()
5
1,1
P-．
综上所述，P点坐标为(1
P-、(21,
P
-、(31,2
P-
-、(41,2
P--、
()
5
1,1
P-．
【例2】
（1）223
y x x
=--；
（2）①当PM=PC时，（特殊角分析）
考虑∠PMC=45°，∴∠PCM=45°，
即△PCM是等腰直角三角形，P点坐标为（2，-3）；
②当MP =MC 时，（表示线段列方程）
设P 点坐标为()2,23m m m --，则M 点坐标为(),3m m -， 故线段()()223233PM m m m m m =----=-+ 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为N ，则MN =m ， 考虑△MCN
是等腰直角三角形，故MC =，
∴23m m -+
，解得3m =或0（舍）， 故P
点坐标为(3-．
综上所述，P 点坐标为（2，-3
）或(3-． 【例3】
（1）234y x x =-++；
（2）①考虑到∠DPM =45°，当DP =DM 时，即∠DMP =45°，
直线AM ：y =x +1，
联立方程：2341x x x -++=+， 解得：13x =，21x =-（舍）． 此时t =1．
②当PD=PM时，∠PMD=∠PDM=67.5°，∠MAB=22.5°，
考虑tan∠22.5°
1，
直线AM
：
)11 y x
=+，
联立方程：
)
23411 x x x
-++=+
解得：
15
x=
21
x=-（舍）．
此时t
1 -．
综上所述，t的值为1
1．
（1）224
233
y x x =--+；
（2）连接AC ，将四边形面积拆为△APC 和△ADC 面积，考虑△ADC 面积为定值，故只需
△APC 面积最大即可，铅垂法可解； （3）过点N 作NE ⊥x 轴交x 轴于E 点，
如图1，过点M 向NE 作垂线交EN 延长线于F 点， 易证△OEN ≌△NFM ，可得：NE =FM ．
设N 点坐标为224,233m m m ⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
，则224233NE m m =--+，1FM m =+，
∴224
2133
m m m --+=+
2242=133
m m m --++
，解得：1m （图1）
，2m （图4） 对应N
点坐标分别为⎝⎭
、⎝⎭
； 2242=133
m m m --+--
，解得：3m =
2）
、4m （图3） 对应N
点坐标分别为⎝⎭
、⎝⎭
．
当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE =FM ．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．
（1）直线BC ：3y x =+
抛物线：223y x x =--+；
（2）将军饮马问题，考虑到M 点在对称轴上，且点A 关于对称轴的对称点为点B ，故
MA +MC =MB +MC ，∴当B 、M 、C 三点共线时，M 到A 和C 的距离之后最小，此时M 点坐标为（-1，2）； （3）两圆一线作点 P ：
以1P 为例，构造△PNB ∽△BMC ，考虑到BM =MC =3， ∴BN =PN =2，故1P 点坐标为（-1，-2）
．
易求2P 坐标为（
1,4）．
3P 、4P 求法类似，下求3P ：
已知PN =1，PM =2，设CN =a ，BM =b ， 由相似得：
12
a
b =，即ab =2，由图可知：b -a =3，
故可解：1b =
，2b =（舍），对应3P
坐标为⎛- ⎝⎭
．
类似可求4P
坐标为⎛- ⎝⎭
． 【思】
（1）抛物线：223y x x =-++，直线AC ：y =3x +3； （2）看图，M 点坐标为（0,3）与C 点重合了．
（3）考虑到AC 为直角边，故分别过A 、C 作AC 的垂线，与抛物线交点即为所求P 点，
有如下两种情况，
先求过A 点所作垂线得到的点P ： 设P 点坐标为()2,23m m m -++，
则PM =m +1，AM =()2202323m m m m --++=--， 易证△PMA ∽△ANC ，且AN =3，CN =1，
∴2123
31m m m +--=
，解得：1103
m =，21m =-（舍）， 故第1个P 点坐标为1013,3
9⎛⎫
- ⎪⎝⎭；
再求过点C 所作垂线得到的点P ：
()223232PM m m m m =--++=-，CN =m ，
2321m m m =-，解得：1
7
3
m =，20m =（舍）， 故第2个P 点坐标为720,39⎛⎫
⎪⎝⎭
．。