八年级数学下册期末复习第十六章 二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

定义包含三个内容:Ⅰ必需含有二次根号 “”；Ⅱ被开方数a ≥0；Ⅲ a 可以是数，也可以是含有字母的式子。

例1.下列式子中,是二次根式的有 _______(填序号)（1）32 （2）6 （3）12- （4）m -（m ＞0）（5）xy （6）12+a （7）352.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。

例2.当x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？※二次根式中字母的取值范围的基本依据：（1）开方数不小于零；（2）分母中有字母时，要保证分母不为零。

3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a例4.若,x y为实数，且20x ++=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-24.二次根式的性质：（1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a例5.利用算术平方根的意义填空例6.化简：2)4(-π=5.二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a ≥0，b ≥0）；a ≥0，b >0） 例7.计算：（1）9×27 （2）25×32 （3）a 5·ab 51（4）1)5(31)4(31)3(238)2(2)1(2+--+---x x x x x x x =2)4(=2)01.0(=2)31(=-2)4(=-2)01.0(5·a 3·b 31例8.计算：①54 ②2212b a ③4925⨯ ④64100⨯例9.计算：（1（2）（3（46.最简二次根式：必须同时满足下列条件（三个不含有）：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

例10.下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A ．18B ．b a 2C ．22b a +D ．327.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

例11. ）A. 8.二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 例12.计算：（1）38550 （2）x x x x 1246932-+ （3）50511221832++-9.有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 例14.计算：（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷- （3）)52)(32(++（4）2)232(- （5）（） （6）12)323242731(⋅--第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么c b a 222=+。

应用：在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+， 22b c a =-，22a c b =-）例1.在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a =5，b =12，则c =___________；②若a =15，c =25，则b =___________；③若c =61，b =60，则a =__________；④若a ∶b =3∶4，c =10则S Rt △ABC =________。

⑤已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。

例2.在长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2B 、8cm 2C 、10cm 2D 、12cm 22.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ,b,c 满足c b a 222=+，那么这个三角形是直角三角形。

应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 例3.下列四组线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a =8，b =15，c =17B ．a =9，b =12，c =15C ．a =5，b =3，c =2D ．a ：b ：c =2：3：4例4.若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个 称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 例5.长度分别为 3， 4 ，5，12，13的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( )A 1个B 2个C 3个D 4个例6.在三角形ABC 中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC 边上的高为AD= .例7.如图，有一块地，已知，AD=4m ，CD=3m ，∠ADC=90°，AB=13m ，BC=12m ．求这块地的面积．4.直角三角形的性质（2）直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：N MDC B A ∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠C=90°，∠A=30°⇒BC=21AB（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

∠ACB=90，D 为AB 的中点⇒CD=21AB=BD=AD5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）例8.下列命题的逆命题正确的是（ ）．A ．全等三角形的面积相等B ．全等三角形的对应角相等C ．如果a =b ，那么a 2=b 2D ．等边三角形的三个角都等于6006.证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

7.证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

第十八章 平行四边形一．平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．平行四边形的性质角：平行四边形的邻角互补，对角相等；边：平行四边形两组对边分别平行且相等；对角线：平行四边形的对角线互相平分； 例3图 面积：①S=底⨯高=ah ；例1．在□ABCD 中，若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝______，∠B ＝______．例2．若平行四边形周长为54cm ，两邻边之差为5cm ，则这两边的长度分别为______． 例3．如图，□ABCD 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，如果∠A ＝115°，则∠BCE ＝______． 例4．若在□ABCD 中，∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则S □ABCD ＝______．例5．如图，在□ABCD 中，M 、N 是对角线BD 上的两点，BN=DM ，请判断AM 与CN 有怎样的数量关系，并说明理由.它们的位置关系如何呢？例6．□ABCD 的周长为60cm ，对角线交于点O ，△BOC 的周长比△AOB 的周长小8cm ，则AB =______cm ，BC =_______cm .例7.□ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，AB =6，BD =m ，那么m 的取值范围是_______.3．平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；ANM O C BDA ODC BAA B D EF ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；例8．已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是OA 、OC 的中点， 求证：BM ∥DN ，且BM=DN.例9．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，已知AE ＝CF ，M 、N 是DE 和FB 的中点，求证：四边形ENFM 是平行四边形．二、特殊的平行四边形（一）矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2、矩形的性质①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等； 例10．已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且AC =2AB 。

（1）求证：△AOB 是等边三角形。

（2）本题若将“AC =2AB ”改为“∠BOC =120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？3、矩形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形. 例11．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°，CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．（二）菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、菱形的性质：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；例12．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ． （1）求证：AE=AF ．（2）若∠B=60°，点E ，F 分别为BC 和CD 的中点．求证：△AEF 为等边三角形．A DBC OO DC BA3、菱形的判定方法：⎪⎭⎪⎬⎫+行四边形）对角线互相垂直的平（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是菱形.例13．如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ． (1)求证：△ADE ≌△CBF ．(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．例14．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．（三）正方形1、定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形2、正方形的性质：①边：四条边都相等；②角：四角都是直角；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分每组对角。