将矩阵u和g相乘：
ug
ug
u2g
u1
gu012ug01gg10xux22gggg0((00xx))00u1gu12x2
ux 12 g0(
gx(gx)(
x) u0g1
x)u1 xg (
x)
u0 g0
u0g
(
x)
0 0 gg(1x) g0 g(x)
(u2x2 u1x u0 )g(x) u(x)g(x)
式中计算，那个乘式为1S，2 就 S1表 S明0 是 1哪一个
图样
7个逻辑与门所进行的运算分别为：
S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1 S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1 S2 S1 S0 1
循环移位之后仍然在码组的集合中 数学定义：设C为某( n, k )线性分组码的码组集合，如果对C中
任意一个码组c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )，它的循环移位c(1) = ( an-2an3 … a1 a0 an-1 )也属于C，则称该( n, k )码为循环码 其中c(i )表示c码组循环移位i次 例如：某( 7, 4 )循环码组集合中的一个码组为( 1000101 )，向左循 环移位一次后的码组( 0001011 )仍为码组集合中第一个许用码组
当且仅当S2、S1、S0全为S12时 S成1 立S0，因1此：
保1证）其对乘每积一为校1正；子设计S一2 个 S1这 S样0 的 1乘式， 2）对于右表共设计7个S2乘 S式1 ，S0对应1 于7种
可能出现的错误图样； S2 S1 S0 1 3）当三位校正子确定S后2 ， S1代 S入0 到 17个乘
进行纠错，即实现等式：
cˆ e y
由其监督矩阵可知，其监督位与信息位之间的偶监督关系：
u6 u5 u3 c2 S2 u6 u5 u4 c1 S1
u5 u4 u3 c0 S0
线性分组码的封闭性特征的证明：
码组集合中任意两许用码组之和仍为一许用码组
证明：设A1和 A2为码中任意两许用码组，则有 A1·HT = 0 A2·HT = 0
译码电路包括三个部分： 1）计算校正子； 2）查找确定纠正图样； 3）纠正接收码组中的错误
某（7，4）码的监督矩阵以 及校正子错误图样表：
查表方法如下：
S2 S1 S0
观察错误图样表发现校正子与错误图样一 一对应
利用二元有限S2域S1的S乘0 法规S2则 S，1 对 S于0 等1式：
S2 ·S1 ·S模运算 若一正整数M除以正整数N，所得到的商为Q，余数为R，可表示为
M N QRN 0RN
其中Q为整数，则在模N运算下，上式的结果为：
M R (模N， 记为mod N)
若所使得用到g(的x)的矩系阵数的组各成项矩恰阵好：与ug(x1 ) ·gg0(x)所然0 得后多将0 项上式式的的系数作为矩阵的第二行 系数相等，因此可用这种g 矩 阵0相乘g1代替g0两个0 多 项式 相乘，这一特性可用于构造循0环码0的生g1成矩g0阵
同时u(x)的系数组成矩阵: u u2 u1 u0
有两个码多项式u(x) = u2 x2 + u1 x + u0；g(gx()x不)x=g变(gx1)：xx=2+gg(1gxx0)2=+gg10xx3 + g0 x2 相加： u(x) + g(x) = ( u2 + 0 ) x2 + ( u1 + g然1 )后xg将+(xu上)0=+式=g的100x系x23+数+gg0作1xx为2 +矩g阵0 x的第一行 相乘： u(x) ·g(x) = u2 g1x3 + ( u2g0+ u1g1然) 后x2 将+ (上u=1式g00的+x3系u+0g数01x)作2x+为+g1矩ux0g阵+0 g的0 第二行
最佳译码应选择那些离y最近的cˆ ，再由上式可知：
1）所有错误图样中选择码重最小图样；
2）该图样所对应的 cˆ 作为纠正后的码组
在实际中译码： 1）一般事先确定好每种校正子S所对应的所有错误图样； 2）选择码重最小的错误图样作为可纠正的错误图样； 3）然后将校正子与最小码重的错误图样制成表格； 4）译码时，利用校正子查表，然后用等式c = e + y进行纠正
码多项式
码多项式是描述循环码的主要方法
对于任一长为n的码组
可用一多项式来表示：
c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )
c(x) = ( an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + …… + a1 x1 + a0 ) 此多项式称码多项式，式中每项的各分量an-1 , an-2 , …… , a1 , a0是多项式的系数 系数不为零的x的最高次数为多项式c(x)的次数，或称多项式的阶数，deg c(x) 例如：某码组( 1100101 )对应的码多项式可表示为
c7(x) = 1·x6+1 ·x5+ 0 ·x4 + 0 ·x3 + 1 ·x2 + 0 ·x +1 = x6 + x5 + x2 +1
码多项式与码组的关系：本质上是一回事，仅是表示方法的不同而已
相当于将g(x)乘以x2 ，使得g(x)的次数
码多项式的加法与乘法
变 相当为3于，将即g(使x)g乘(x以)的x最，使高得次g与(xu)(的x)次·g(数x) 一 变样 为2：：
A1·HT + A2·HT = ( A1 + A2 ) ·HT = 0 即（ A1 + A2）必是该码中一许用码组 由封闭性以及二元有限域的加法特性可知，两个码组之间的距离 必是另一码组的重量，码的最小距离等于非零码的最小重量。此 即证明了为线性分组码的另一特征
循环码
是线性分组码中最主要、最有用的一种码 与一般线性分组码相比，循环码具有循环特性，每个码组经任意
信道编码
译码纠、检过程
错误矩阵/错误图样E：设发送码组为c，接收码组为y，则
e c y en1 en2
则可用下式进行纠错：
e0 c y
错误图样的计算：
cˆ e y
S yHT e cHT eHT cHT eHT 即：S eHT
这个线性方程组一共有2k个解，即2k个错误图样