抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明2p2sin证明：根据抛物线的定义，I AF I = I AD = x i + P , I BF I = I BC = X 2 + 2,| AB |= | AF 汁 | BF |= x i + X 2+ p如图2,过A 、B 引x 轴的垂线AA i 、BB i ，垂足为A i 、B i ，那么 | RF |= | AD | FA i |= | AF | AF |cos ,...I AF =1 RF 1= pi — cos i — cos•j AB=1 AF |+1 BF=血 +盅=話S5 = S5 + S OBF = 2| OF || y i |+1| OF || y i | =舟舟• y i 1+ I y i I)-yi y 2=— p 2,贝V yi 、y 2异号，因此，| y i |+ | y i |= | y i — y 2 |二 S A O AB = 4| y i — y 2 | = ^/(y i + y 2)2—4y i y 2 = g/4m 2p 2+ 4p 2=■p ^/i + m 2=2^过抛物线 y 2= 2px (p > 0)焦点F 的弦两端点为A(x i , y i ), B(x 2, y 2),倾斜角为 ，中点为C(x o ,y 0),垂足为 A'、B'、C .1.求证: 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线， ①焦半径I AF I x iP -； 11 i2 i cos③rj —i+r^-尸 2；④弦长 I ABI = x i + X 2+ p = 2p;特别地，当 X i =X 2( =90 ) 丨AF丨丨BF 丨Psi n 2②焦半径IBFI X 2号鳥同理,I BF=罟=盘时，弦长|AB|最短，称为通径，长为 鸟卩：⑤厶AOB 的面积S A OAB =22.求证：①x 冷P•，②刘24当AB 丄x 轴时，有AF BF p,成立；•••方程（1 ）之二根为 X 1 , X 2,••• x x 2先证明：Z AMB = Rt Z【证法一】延长 AM 交BC 的延长线于E ,如图3, 则△ ADM ◎△ ECM ,• I AM |= | EM |, | EC |= | AD | • | BE |= | BC 汁 | CE |= | BC 汁 | AD |=| BF |十 | AF |= | AB |1 , 12 十 — IAF | | BF | p当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为:y k x 卫•代入抛物线方程:22k 2 x 号2p x .化简得：k 2x 22pk 2 2x 中21_ _1_ _1_ _1 AF BF AA , BB 1X 2x-i x 2 p2p px 1x 2x i x 2 —3.求证:________x12P 卫 X 2 Px 1 x 22p_ 4x 1 x 2 pAC'B A'FB' Rt Z .图3•••△ ABE 为等腰三角形，又 M 是AE 的中点, ••• BM 丄 AE ,即/ AMB = Rt /【证法二】取 AB 的中点N ，连结MN ，贝U| MN |= 2(| AD 汁 | BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓 AB |,二 | MN |= | AN |= | BN |—P 2 . p y l 斗 _y |_ p 2y 1+ yl 2y i y 2=4 + 2(2p + 2p )+ 4 —4=疋+地=丘+二= 02 2 2 2• "MA 丄 P B ，故/ AMB = Rt / .【证法五】由下面证得/ DFC = 90，连结FM ，贝U FM = DM.又 AD = AF ，故△ ADM ◎△ AFM ，如图 4•••△ ABM 为直角三角形，AB 为斜边, 故/ AMB = Rt / .【证法三】由已知得 C(-2, y 2)、D(-2,屮),由此得M(—2, y 〔+y 2) 2).y i + y 2 y i_ 2 k AM =x i +Py — y 2 p(y i —y 2)y 2+ P 2 22 2p+pp(y 「于)y 2+ P 2卫 y i ,同理k BM =p 2,=心 + 躯1 + X 2)+ 孚-•••/ 1 = Z 2，同理/ 3 =Z 41•••/ 2+Z 3 = 2X 180 = 90 •••/ AMB = Rt Z .接着证明：Z DFC = Rt Z【证法一】如图 5,由于| AD |= | AF |, AD // RF , 故可设ZAFD =Z ADF =Z DFR =, 同理，设Z BFC =Z BCF = Z CFR=, 而Z AFD + Z DFR + Z BFC +Z CFR = 180• 2( + ) = 180，即 + = 90，故Z DFC = 90【证法二】取CD 的中点M ，即M(— 2,豊严)由前知 k AM =P, kcF = y~~ =—— =P y 1 + P + p p y 12 2••• k AM = k CF , AM // CF ，同理， BM // DF • Z DFC =Z AMB = 90 .【证法三】••• "D F = (p , — y 1), "C F = (p ,— y 2),• - DF • CF = p 2+ y 1y 2 = 0【证法四】由于I RF 2= p 2=— y 『2= I DR | - | RC |,即嗟^ =1 RF 1，且Z DRF = Z FRC = 901 RC 1• △ DRF FRC• Z DFR = Z RCF ，而Z RCF +Z RFC = 90 • Z DFR + Z RFC = 90 • Z DFC = 904. C ' A 、C ' B 是抛物线的切线 2 【证法一】T k AM = p, AM 的直线方程为y — y 1 = °(x — ¥)y 1 yr 2p 7• "D F 丄"C F ，故Z DFC = 90 .lM 1y\O / € FxN 1A N图7图8与抛物线方程y 2= 2px 联立消去x 得y — y i =y(2p — 2p ，整理得 y 2-2yiy + y2=可见△= (2y i )2— 4y 2{ = 0, 故直线AM 与抛物线y 2= 2px 相切， 同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程 y 2= 2px ,两边对x 求导，(y 2)x = (2px)x ,得2y • y x = 2p , y * = p ,故抛物线y 2= 2px 在点A(x i , y i )处的切线的斜率为 k 切=y x | y d =P=yi 一. y i又k AM = y i ,••• k 切一 k AM ，即AM 是抛物线在点 A 处的切线，同理 BM 也是抛物线的 切线•【证法三】••过点A(xi , y i)的切线方程为y i y — p(x + x i )，把M( — p ,y； y)代入右边一 p(— p + x”=— p + px i ，左边一右边，可见，过点即AM 是抛物线的切线，同理 BM 也是抛物 线的切线•5. C'A 、C'B 分别是/ A 'AB 和/ B 'BA 的平分线•【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E,如图9,则厶 ADM ◎△ ECM ，有 AD // BC , AB = BE , •••/ DAM 一/ AEB 一/ BAM , 即AM 平分/ DAB ,同理 BM 平分/ CBA. 【证法二】由图 9可知只须证明直线 AB 的倾斜角是直线AM 的倾斜角的2倍即可，即 =2•且M(-p ，中)左边一 y i •y i + y y 2+ y y 2px i — p 22 = 2 = 2=px i —pf 2A 的切线经过点M ,…tan — k y 2— y 1 — y 2—y 1— 2p -tan — K AB =— 22 —X 2 — x i y 2 y 1y i + y2p 2py i + y 2 — p2tan:y i2y i — y 2 p(y i — y 2)p(y iy i)p,py i ,y i +p 2y i +p 2y i—2，即AM 平分/ DAB ,同理 BM 平分/ CBA.y 轴三线共点，BC ' B '、y 轴三线共点【证法一】如图10,设AM 与DF 相交于点G i ,由以上证明知| AD |— | AF |, AM 平分/ DAF ，故AG i 也是DF 边上的中线, •G i 是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D i , DF 与y 轴相交于点 易知，| DD i |— | OF |, DD i // OF , 故厶 DD i G 2^^ FOG 2 •••I DG 2 |— | FG 2 I ,则 G 2也是 DF 的中点.•G i 与G 2重合（设为点 G ）,贝U AM 、DF 、线共点，2【证法二】AM的直线方程为y -y i -器x -稽）,令x — 0得AM 与y 轴交于点G i （0,等）,又DF 的直线方程为y —— ^（x — p）,令x — 0得DF 与y 轴交于点p 2■■- AM 、DF 与y 轴的相交同一点 G （0,罗），贝AM 、DF 、y 轴三线共点,/• tan 22tan 1 —2P y i 2py i2py i2221—(p)2 y 2—py 2+ yi y 2— tany i + y 26. AC ' A '、 同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.G 2(0 ,同理BM、CF、y轴也三线共点H .由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.7. A 、0、B '三点共线，B 、0、A '三点共线..I R0 |= | C0 |= | BF | | 0 F |= | CB |'| AD | = | CA | = | AB |， | AF | = | AB |，p p y i py i y i y 2y i 2 • y i -x i y 2= — 2 • y i -右 y 2 =-寸—• (5C // IDA ，且都以0为端点• A 、0、C 三点共线，同理 B 、0、D 三点共线.【推广】过定点 P(m , 0)的直线与抛物线 y 2= 2px ( p > 0)相交于点 A 、B ，过A 、B 两 点分别作直线I : x = — m 的垂线，垂足分别为 M 、N ，贝U A 、0、N 三点共线，B 、0、M 三点也共线，如下图：【证法一】如图11, k °A =比=洛=2P,x i y 1 y 1k oc =—P —22y 2 — 2py 2 _ 2py 22p—2 =—p p 2 — y y y二 k oA = k oc , 则A 、0、C 三点共线,同理D 、0、 B 三点也共线.【证法二】设 AC 与x 轴交于点 0 AD // RF // BC共线.又1AD 冃 AF h1 BC=1 BF「騎1=辭10、A 三点共线，同理 ••• | RO | = | 0F |,贝U 0 与 0 重合，即 C 、 D 、0、 B 三点也【证法三】设 AC 与x 轴交于点0 , RF // BC ,L0FJ= 1AFJ | CB | | AB• | 0 F = I CB • | AF | | BF 丨• | AF |I AB || AF |+ | BF | 1 +1 = 2【见⑵证】 I AF | | BF |• 0与0重合，则即C 、0、A 三点共线，同理D 、0、B 三点也共线.【证法四】••• 5c = (-p , y 2), 0A = (x i , y i ),叫吐=o2 2p2p相切；A ' B '为直径的圆与焦点弦 AB 相切•【说明】如图15,设E 是AF 的中点,则E 的坐标为（8.若| AF |： | BF |= m : n , 点A 在第一象限为直线AB 的倾斜角•则cosm — nm +【证明】如图14,过A 、B 分别作准线I 的垂线，垂足分别为 D ,C ,过B 作BE 丄AD于 E ,设 | AF |= mt , | AF |= nt ,则| AD |= | AF |,| BC |= | BF |, | AE |= | AD |- | BC | = (m — n)t亠 "亠 ,| AE | (m — n)t m —nABEcos BAE/• cos = cos / BAE = m _n. m + n【例6】设经过抛物线 y 2= 2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ,且| AF I ： | BF |= 3: 1,则直线AB 的倾斜角的大小为 【答案】60或120 .9•以AF 为直径的圆与y 轴相切,以BF 为直径的圆与 y 轴相切；以AB 为直径的圆与准线M'O Xy <y*则点E到y轴的距离为d = 12l AF |故以AF为直径的圆与y轴相切，同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15,设M是AB的中点，作MN丄准线I于N,则I MN |=刃AD 汁| BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓AB |1则圆心M到I的距离| MN |= 2| AB |,故以AB为直径的圆与准线相切10. MN交抛物线于点Q,则Q是MN的中点.2 2【证明】设A（2p,屮）,B（2p 丫1），则C（- 2,y i),p y i + y2 y?+ y 2M(-2,宁)，N (育设MN的中点为Q，则Q y i + y2)2),p 丄y i +y2 I2 4p 2 ' 2p+y1+ y22 十4p —2p2+ y1 + y2 2y i y2+ y f + 鱼2 8p 8p y i + y2 222p•••点Q在抛物线y2= 2px上，即卩Q是MN的中点.。