抛物线焦点弦性质总结30条基础回顾1.以AB为直径的圆与准线L相切;2.3.4.5.6.7.8.9.11.12.2“ o Px1gx2—;2y1gy2p ；AC'B 90°；A'FB' 90°;AB % x2 p 2(x3#)丄_L 1AF||BF| P;A、O B'三点共线；B、O A'三点共线；P22sin '(P)3(定值)；2S VAOB2Sv AOB|ABAF1 cosBF2psin21 cosP；13. BC 垂直平分BF ； 14. AC '垂直平分A 'F ; 15. C 'F AB ； 16.AB 2P ;117. CC' -AB2“ P18. K AB =-；y 319. tan =-^;X 2-号220.A'B' 4AF| |BF21. C'F ^A'B'. 222.切线方程 y 0y m x 0 x性质深究）焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦AB x 轴时，则点P 的坐标为 卫,0在准线上.2证明：从略结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立？结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点.结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径.3、AB 是抛物线y 2 2px （ p > 0）焦点弦，Q 是AB 的中点，I 是抛物线的准线，AA l , BB 1 l , 过A , B 的切线相交于P, PQ 与抛物线交于点M 则有结论 6PALPB. 结论7PF 丄AB. 结论8 M 平分 PQ结论9 PA 平分/ AAB PB 平分/ BBA 结论 10 F A |FB PF 2 结论 11S PAB min p '1(AA'BB')；)非焦点弦与切线思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时, 也有与上述结论类似结果：结论12①x p警,y p2p y1 y22结论13PA平分/ AAB同理PB平分/ BBA结论14PFA PFB结论15点M平分PQ结论16F A F B PF2相关考题1、已知抛物线x2 4y的焦点为F, A B是抛物线上的两动点，且AF FB ( > 0),过A, B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M(1)证明：F M A B的值；(2)设ABM的面积为S,写出S f 的表达式，并求S的最小值.2、已知抛物线C的方程为x2 4y，焦点为F,准线为I，直线m交抛物线于两点A, B；(1)过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D,求证：AF DF ;(2)若直线m过焦点F,分别过点A, B的两条切线相交于点M求证：AML BM且点M在直线I 上.3、对每个正整数n, A n X n,y n是抛物线x? 4y上的点，过焦点F的直线FA交抛物线于另一点B n S n,t n , ( 1 )试证：X. S. 4 ( n> 1 )(2)取X n 2n，并C为抛物线上分别以A与B为切点的两条切线的交点，求证：FC1 FC2 FC n 2n2 n 11 (n> 1)抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。
因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳，并在教学中与学生一起进行一些可行的研究，一方面，作为高考命题也会往这个方向上尝试，另一方面，作为新课程的一个理念，让学生进行一些学有余力的研究，提高学生学习数学的兴趣，提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。
本人从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质，并结合高考的热点题对这一性质作了一些研究。
题：抛物线y2=2px （p>0）的准线与x轴交于Q点，过点Q作斜率为k的直线L。
则“直线L与抛物线有且只有一个交点”是“ k=± 1”的__________ 件。
本题设计意图是考查学生对于直线与抛物线有且只有一个交点的问题的了解，要求学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，因此，经过简单的验证可知道上题的答案是必要不充分条件。
结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点。
性质1:已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
图1 图2■I ■/证明：由图 2 可知，BF=BB, AF=AA，2PR=AA+BB。
所以2PR=AB其中图1是图2的一个特例，即当焦点弦是通径时，图2即变成了图1。
这就引导我们思考在图2中的两条直线PA、P1B是否也是抛物线的两条切线，这样我们得出了抛物线的一个性质：性质2:已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以A B为切点的两条切线的交点P落在其准线上。
证明：设A（X1，y1），B（X2，y2），P（x，y）点A在抛物线上：y/=2px1 （1）点B在抛物线上：y22=2px2 （2）过点A的切线方程：yy1=p（x+x”（3）过点B的切线方程：yy2=p（X+X2）（4）直线AB经过点F:」比（5）p pX1 X22 2将（1）式与（2）式分别代入（3）、（4）、（5）式，得到2yy 1=p (x+ =)2p (3')2 y2yy 2=p (x+ —)2p(4')2y 1y 2=-p(5')因为点P(x , y )的坐标满足(3')、(4')，所以y 1、、可视为是方程yt =p (x+2p ) 的两根，因此由韦达定理可得 y i y 2=-p 2=2px 。
即x=—。
2所以点P 的轨迹为抛物线的准线。
从上面的证明中我们可以看出，当 A 、B 两点的坐标满足某种条件时，则以 A 、B 为 切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。
因此，我们更进一步地得出了更好 的性质：性质3：已知AB 是经过抛物线y 2=2px (p>0)的对称轴(即x 轴)上一定点P( m 0) (m>0的弦，则以A 、B 为切点的两条切线的交点 Q 的轨迹是一条直线x=-m 。
证明：略。
对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如 果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：性质3'：动点P 在直线x=-m 上运动，过点P 作抛物线的两条切线PA PB,切点分 别为A 、B ,连结AB 得到弦AB 那么弦AB 过定点(m 0)。
证明：略。
由 OA OB = x 很2+如丫2=2，得 c=2。
(2) P 为线段AB 的中点，得点Q 的坐标为(七翌，-c )2由AQ 的斜率k 1=y1 c2x1沁 2x 1，过点A 的切线的斜率为k 2=2x 1。
所以直 X 1x1X 22线AQ 是抛物线的切线。
(3) 过点A 的切线方程为y-y 1=2 x 1 (x-x 1)与直线y=-c 相交于点Q将 y=-c 代入 y-y 1=2 x 1 (x-x 1)，可得-c-x 12=2 x 1 (x-x 1) 即卩 X 1X 2-X 12=2 x 1 (x-x 1)根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的切线以 及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及。
例1： (2007江苏高考第19题)如图，过C (0，c ) (c>0)作直线与抛物线 交于A 、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，若OA OB =2，求c 的值；若P 为线段AB 的中点，求证：AQ 为抛物线的切线； 试问(2)的逆命题是否成立。
y 1 )，B (X 2, y 2)，(1) y 2 c x 2(1) (2) (3) 解：(1)设 A (x i ， 2点A 在抛物线上：y=x 直分别与线段AB 和直线y+c=0交于P 、 y 車2y 2=X 2 (2)(3) (3)式，得至U X 1X 2=-c ，y 1y 2=c 2y=x 2 相Q BC (0, c ) 点B 在抛物线上:所以点Q 的横坐标为 12，即点P 为线段AB 的中点。
(2)的逆命题成立。
2该题的命题思路就是借助于性质 3而编制的一道中等难度的题。
其中主要运用了切 线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。
下题也是用类似的方法命 制的题。
例2：(2006全国高考卷U 21题)抛物线x 2 3=4y 的焦点F , A B 是抛物线上两动点, 且AF FB ，过A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M2 AF FB ，即(O-X 1，1-y 1) = X( X 2， y 2-1 ) 所以 帜1=入X 2，再由 X 1X 2=-4，得入X 2X 2=4， 即 X 2=d±，贝u X 1= 7^，y 1=入，丫2=丄。
由 FM AB =0,4。
当入=1时，△ ABM 的面积S 取得最小值从上面两例可以看出，高考命题往往借助课本例题中一个典型图形，结合其他 知识点进行再创造，即使是在全国数学联赛中也有这样的命题方向：例(2007年全国数学联赛一试14题)过点(0,1)的直线L 与曲线C: y x -(x 0)X交于两个不同点M 和N,求曲线C 在点M N 处的切线的交点的轨迹。
因此在日常教学工作中，我们也应该对课本中的性质定理进行再挖掘，对几何图形的优 美性质进行一些研究性的工作，一方面对学生处理新颖题的能力提高有帮助，另一方面对教师的教学研究工作也有促进作用。
所以 S= f (入)=；AB FM1 2 22\ X1X 2 y 1 y 22X 1 X 242(1) 证明：FM‘ AB 为定值；(2) 设厶ABM 的面积为S ,写出S=f (入)的表达式，并求出 S 的最小值。
解：(1)设 A (X 1, y 1 )，B (X 2, y 2)，F (0，1)点A 在抛物线上：4y 1=x/ (1)点B 在抛物线上：4y 2=X 22 直线AB 经过点F ：生」以(3)X 1X 2得到过点A 的切线方程：2 (y-y 1) =X 1 ( X -X 1)过点B 的切线方程：2 (y-y 2) =X 2 (x-x 2) 由(1) (2) (3)得 X 1X 2=-4 , yy 2=1 由(4)、(5)得M 坐标为(生产, -1 )。