四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B=（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{0，1，2}2．（5分）如果复数（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．B ．C ．﹣D ．23．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x 6 5 10 12y 6 5 3 2则变量x 与y 之间的线性回归直线方程可能为（ ）A ．=0.7x ﹣2.3B ．=﹣0.7x +10.3C ．=﹣10.3x +0.7D ．=10.3x ﹣0.75．（5分）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n ＞0，a n +12﹣a n 2=1（n ∈N *），那么使a n ＜5成立的n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．24D ．256．（5分）已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f （x ）的一个单调递增区间是（ ）A ．（）B ．（） C ．（） D ．（）7．（5分）若0＜m ＜1，则（ ） A ．log m （1+m ）＞log m （1﹣m ）B ．log m （1+m ）＞0祝您高考马到成功！C ．1﹣m ＞（1+m ）2D ．8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A ．B ．4C ．3D ．9．（5分）函数f （x ）=x 3+x 2﹣ax ﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，5）B ．[1，5）C ．（1，5]D ．（﹣∞，1）∪（5，+∞）10．（5分）已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ） A ．B ．48πC ．24πD ．16π11．（5分）设数列{a n }前n 项和为S n ，已知，则S 2018等于（ ） A ．B ．C ．D ．12．（5分）已知抛物线C ：x 2=4y ，直线l ：y=﹣1，PA ，PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则“点P 在l 上”是“PA ⊥PB”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）祝您高考马到成功！13．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z=3x ﹣4y 的最小值为 ．14．（5分）数列{a n }满足：若log 2a n +1=1+log 2a n ，a 3=10，则a 8= ． 15．（5分）若圆O 1：x 2+y 2=5与圆O 2：（x +m ）2+y 2=20（m ∈R ）相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ． 16．（5分）函数f （x ）=，若方程f （x ）=mx ﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和值域；（2）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，求角C 的值．18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，祝您高考马到成功！再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 与等边三角形ABE 所在的平面互相垂直，M ，N 分别是DE ，AB 的中点． （1）证明：MN ∥平面 BCE ； （2）求三棱锥B ﹣EMN 的体积．20．（12分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|=2，椭圆的离心率为e= （Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若P 是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）=e x ，直线l 的方程为y=kx +b ，（k ∈R ，b ∈R ）． （1）若直线l 是曲线y=f （x ）的切线，求证：f （x ）≥kx +b 对任意x ∈R 成立； （2）若f （x ）≥kx +b 对任意x ∈[0，+∞）恒成立，求实数k ，b 应满足的条件．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点P （0，2），l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |． 23．已知函数f （x ）=|x +1|．（1）求不等式f （x ）＜|2x +1|﹣1的解集M ；（2）设a ，b ∈M ，证明：f （ab ）＞f （a ）﹣f （﹣b ）．祝您高考马到成功！！功成到马考高您祝四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0，1} D ．{0，1，2} 【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x |﹣1＜x ＜2} ∴A ∩B={0，1} 故选C2．（5分）如果复数（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．B ．C ．﹣D ．2【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选C ．3．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据： x 6 5 10 12y 6 5 32则变量x 与y 之间的线性回归直线方程可能为（ ）A ．=0.7x ﹣2.3B ．=﹣0.7x +10.3C ．=﹣10.3x +0.7D ．=10.3x ﹣0.7祝您高考马到成功！【解答】解：根据表中数据，得； =（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y 随变量x 的增大而减小，是负相关， 所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x +10.3过样本中心点（，）． 故选：B ．5．（5分）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n ＞0，a n +12﹣a n 2=1（n ∈N *），那么使a n ＜5成立的n 的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．24D ．25【解答】解：由题意a n +12﹣a n 2=1，∴a n 2为首项为1，公差为1的等差数列，∴a n 2=1+（n ﹣1）×1=n ，又a n ＞0，则a n =，由a n ＜5得＜5，∴n ＜25．那么使a n ＜5成立的n 的最大值为24．故选C ．6．（5分）已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f （x ）的一个单调递增区间是（ ）A ．（）B ．（） C ．（） D ．（）【解答】解：由图象可知：T=﹣=，祝您高考马到成功！∴T==π，∴ω=2， 又×2+φ=π（或×2+φ=），∴φ=﹣，∴f （x ）=2sin （2x ﹣），由2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，得其单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]．当k=1时，单调递增区间为：[，]．显然，（，）⊆[，]．故选D ．7．（5分）若0＜m ＜1，则（ ） A ．log m （1+m ）＞log m （1﹣m ） B ．log m （1+m ）＞0C ．1﹣m ＞（1+m ）2D ．【解答】解：①∵0＜m ＜1，∴函数y=log m x 是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m＞1﹣m ＞0，∴log m （1+m ）＜log m （1﹣m ）；∴A 不正确；②∵0＜m ＜1，∴1+m ＞1，∴log m （1+m ）＜0；∴B 不正确；③∵0＜m ＜1，∴0＜1﹣m ＜1，1+m ＞1，∴1﹣m ＞（1+m ）2；∴C 不正确；④∵0＜m ＜1，∴0＜1﹣m ＜1，∴函数y=（1﹣m ）x 是定义域R 上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D 正确；故选：D ．8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）祝您高考马到成功！A ．B ．4C ． 3D ．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE ， ∵正方体的棱长为2， ∴FH=，DE=，梯形的高为．∴该截面的面积为S=．故选：A ．9．（5分）函数f （x ）=x 3+x 2﹣ax ﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，5）B ．[1，5）C ．（1，5]D ．（﹣∞，1）∪（5，+∞） 【解答】解：由题意，f′（x ）=3x 2+2x ﹣a ， 则f′（﹣1）f′（1）＜0， 即（1﹣a ）（5﹣a ）＜0， 解得1＜a ＜5，另外，当a=1时，函数f （x ）=x 3+x 2﹣x ﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，祝您高考马到成功！当a=5时，函数f （x ）=x 3+x 2﹣5x ﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点， 故选：B ．10．（5分）已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ） A ．B ．48πC ．24πD ．16π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图， 把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径， AD=2AB=6，OE=3，△ABC 是正三角形， 所以AE=．AO=．所求球的体积为：==32．故选A ．11．（5分）设数列{a n }前n 项和为S n ，已知，则S 2018等于（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵a 1= ∴a 2=2×﹣1=，祝您高考马到成功！a 3=2×﹣1=， a 4=2×= a 5=2×=，∴数列{a n }是以4为周期的周期数列， ∴a 1+a 2+a 3+a 4=+++=2，∴S 2018=504×（a 1+a 2+a 3+a 4）+a 1+a 2=1008+=，故选：B ．12．（5分）已知抛物线C ：x 2=4y ，直线l ：y=﹣1，PA ，PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则“点P 在l 上”是“PA ⊥PB”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由x 2=4y ，对其求导得．设A，B，则直线PA ，PB 的斜率分别为k PA =，k PB =．由点斜式得PA ，PB 的方程分别为：y ﹣=．=（x ﹣x 2），联立解得P， 因为P 在l 上，所以=﹣1，所以k PA •k PB ==﹣1，所以PA ⊥PB ．反之也成立．所以“点P 在l 上”是“PA ⊥PB”的充要条件． 故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z=3x ﹣4y 的最小值为 ﹣1 ．祝您高考马到成功！【解答】解：由z=3x ﹣4y ，得y=x ﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=x ﹣，由平移可知当直线y=x ﹣，经过点B （1，1）时，直线y=x ﹣的截距最大，此时z 取得最小值， 将B 的坐标代入z=3x ﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数z=3x ﹣4y 的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1．14．（5分）数列{a n }满足：若log 2a n +1=1+log 2a n ，a 3=10，则a 8= 320 ．【解答】解：∵log 2a n +1=1+log 2a n∴a n +1=2a n∴数列{a n }是2为公比的等比数列∴a 8=a 325=320 故答案为：32015．（5分）若圆O 1：x 2+y 2=5与圆O 2：（x +m ）2+y 2=20（m ∈R ）相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 4 ．【解答】解：由题 O 1（0，0）与O 2：（﹣m ，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和， 可得＜|m |＜．再根据题意可得O 1A ⊥AO 2， ∴m 2=5+20=25， ∴m=±5， ∴利用，祝您高考马到成功！解得：AB=4． 故答案为：4．16．（5分）函数f （x ）=，若方程f （x ）=mx ﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （，） ．【解答】解：方程f （x ）=mx ﹣恰有四个不相等的实数根可化为 函数f （x ）=与函数y=mx ﹣有四个不同的交点，作函数f （x ）=与函数y=mx ﹣的图象如下，由题意，C （0，﹣），B （1，0）； 故k BC =，当x ＞1时，f （x ）=lnx ，f′（x ）=； 设切点A 的坐标为（x 1，lnx 1），祝您高考马到成功！则=；解得，x 1=； 故k AC =；结合图象可得，实数m 的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和值域；（2）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，求角C 的值．【解答】解：（1）因为=，所以f （x ）的最小正周期为2π． 因为x ∈R ，所以，所以f （x ）的值域为[﹣1，1]． （2）由（1）得，所以．因为0＜A ＜π，所以，所以，因为，由正弦定理祝您高考马到成功！可得，所以sinB=1， 因为0＜B ＜π， 所以，故得：．18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．【解答】解：（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20． 估计所有使用者的平均年龄为：0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37（岁） （2）由题意可知抽取的6人中，年龄在[35，45）范围内的人数为4，记为a ，b ，c ，d ；年龄在[45，55]范围内的人数为2，记为m ，n ． 从这6人中选取2人，结果共有15种： （ab ），（ac ），（ad ），（am ），（an ），（bc ），祝您高考马到成功！（bd ），（bm ），（bn ），（cd ），（cm ），（cn ）， （dm ），（dn ），（mn ）．设“这2人在不同年龄组“为事件A ． 则事件A 所包含的基本事件有8种，故，所以这2人在不同年龄组的概率为．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 与等边三角形ABE 所在的平面互相垂直，M ，N 分别是DE ，AB 的中点． （1）证明：MN ∥平面 BCE ； （2）求三棱锥B ﹣EMN 的体积．【解答】（1）证明：取AE 中点P ，连结MP ，NP ． 由题意可得MP ∥AD ∥BC ，∵MP ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴MP ∥平面BCE ， 同理可证NP ∥平面BCE ． ∵MP ∩NP=P ，∴平面MNP ∥平面BCE ， 又MN ⊂平面MNP ， ∴MN ∥平面BCE ；（2）解：由（1）可得MP ∥DA ，且MP=DA ，∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE=AB ，且DA ⊥AB ， ∴DA ⊥平面ABE ， ∴M 到平面ENB 的距离为，∵N 为AB 的中点，祝您高考马到成功！∴，∴==．20．（12分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|=2，椭圆的离心率为e= （Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若P 是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．【解答】解：（I ）由题意，∵|F 1F 2|=2，椭圆的离心率为e= ∴c=1，a=2， ∴b=，∴椭圆的标准方程为+=1 …（4分）（II ）设P （x 0，y 0），则∵A （﹣2，0），F 1（﹣1，0）， ∴•=（﹣1﹣x 0）（﹣2﹣x 0）+y 02=x 2+3x +5，由椭圆方程得﹣2≤x ≤2，二次函数开口向上，对称轴x=﹣6＜﹣2 当x=﹣2时，取最小值0， 当x=2时，取最大值12． ∴•的取值范围是[0，12]…（12分）21．（12分）已知函数f （x ）=e x ，直线l 的方程为y=kx +b ，（k ∈R ，b ∈R ）．祝您高考马到成功！（1）若直线l 是曲线y=f （x ）的切线，求证：f （x ）≥kx +b 对任意x ∈R 成立； （2）若f （x ）≥kx +b 对任意x ∈[0，+∞）恒成立，求实数k ，b 应满足的条件． 【解答】解：（1）因为f'（x ）=e x ，设切点为（t ，e t ），所以k=e t ，b=e t （1﹣t ）， 所以直线l 的方程为：y=e t x +e t （1﹣t ）， 令函数F （x ）=f （x ）﹣kx ﹣b ，即F （x ）=e x ﹣e t x ﹣e t （1﹣t ），F'（x ）=e x ﹣e t ，所以F （x ）在（﹣∞，t ）单调递减，在（t ，+∞）单调递增， 所以F （x ）min =f （t ）=0， 故F （x ）=f （x ）﹣kx ﹣b ≥0， 即f （x ）≥kx +b 对任意x ∈R 成立．（2）令H （x ）=f （x ）﹣kx ﹣b=e x ﹣kx ﹣b ，x ∈[0，+∞）H'（x ）=e x ﹣k ，x ∈[0，+∞），①当k ≤1时，H'（x ）≥0，则H （x ）在[0，+∞）单调递增，所以H （x ）min =H （0）=1﹣b ≥0，b ≤1，即，符合题意．②当k ＞1时，H （x ）在[0，lnk ]上单调递减，在[lnk ，+∞）单调递增，所以H （x ）min =H （lnk ）=k ﹣klnk ﹣b ≥0，即b ≤k （1﹣lnk ），综上所述：满足题意的条件是或．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点P （0，2），l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |． 【解答】解：（1）由消去参数α，得祝您高考马到成功！即C 的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x +2所以直线l 的斜率角为．（2）由（1）知，点P （0，2）在直线l 上，可设直线l 的参数方程为（t 为参数）即（t 为参数），代入并化简得设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2． 则，所以t 1＜0，t 2＜0所以．23．已知函数f （x ）=|x +1|．（1）求不等式f （x ）＜|2x +1|﹣1的解集M ；（2）设a ，b ∈M ，证明：f （ab ）＞f （a ）﹣f （﹣b ）．【解答】（1）解：①当x ≤﹣1时，原不等式化为﹣x ﹣1＜﹣2x ﹣2解得：x ＜﹣1； ②当时，原不等式化为x +1＜﹣2x ﹣2解得：x ＜﹣1，此时不等式无解； ③当时，原不等式化为x +1＜2x ，解得：x ＞1．综上，M={x |x ＜﹣1或x ＞1}；（2）证明：设a ，b ∈M ，∴|a +1|＞0，|b |﹣1＞0， 则 f （ab ）=|ab +1|，f （a ）﹣f （﹣b ）=|a +1|﹣|﹣b +1|．∴f （ab ）﹣[f （a ）﹣f （﹣b ）]=f （ab ）+f （﹣b ）﹣f （a ）=|ab +1|+|1﹣b |﹣|a +1|祝您高考马到成功！=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．！功成到马考高您祝。