数列知识点题型方法总复习一.数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如(1)已知*2()156nna n Nn=∈+,则在数列{}na的最大项为__(125);(2)数列}{na的通项为1+=bnanan,其中ba,均为正数,则na与1+na的大小关系为___(na<1+na);(3)已知数列{}na中,2na n nλ=+,且{}na是递增数列,求实数λ的取值范围(3λ>-);(4)一给定函数)(xfy=的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a,由关系式)(1nnafa=+得到的数列}{na满足)(*1Nnaann∈>+,则该函数的图象是(A)A B C D二.等差数列的有关概念:1.等差数列的判断方法:定义法1(n na a d d+-=为常数)或11(2)n n n na a a a n+--=-≥。
如设{}na是等差数列,求证:以b n=naaan+++21*n N∈为通项公式的数列{}nb为等差数列。
2.等差数列的通项:1(1)na a n d=+-或()n ma a n m d=+-。
如(1)等差数列{}na中,1030a=,2050a=,则通项na=210n+;(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______833d<≤3.等差数列的前n和:1()2nnn a aS+=,1(1)2nn nS na d-=+。
如(1)数列{}na中,*11(2,)2n na a n n N-=+≥∈,32na=,前n项和152nS=-,则13a=-,10n=;(2)已知数列{}na的前n项和212nS n n=-,求数列{||}na的前n项和nT(答:2*2*12(6,)1272(6,)nn n n n NTn n n n N⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩).4.等差中项:若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且2a bA +=。
提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d );偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(公差为2d ) 三.等差数列的性质:1.当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2.若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。
3.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=如(1)等差数列{}n a 中,12318,3,1n n n n S a a a S --=++==,则n =__27__(2)在等差数列{}n a 中,10110,0a a <>,且1110||a a >,n S 是其前n 项和,则B A 、1210,S S S 都小于0,1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0,2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0,67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0,2122,S S 都大于04.若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列,而{}n a a 成等比数列;若{}n a 是等比数列,且0n a >,则{lg }n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25,前2n 项和为100,则它的前3n 和为 225 。
5.在等差数列{}n a 中,当项数为偶数2n 时,S S nd =偶奇-;项数为奇数21n -时,S S a -=奇偶中,21(21)n S n a -=-⋅中(这里a 中即n a );:(1):奇偶S S k k =+。
如(1)在等差数列中,S 11=22,则6a =__2____(2)项数为奇数的等差数列{}n a 中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数(答:5;31).6.若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ,且()nnA f nB =,则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列,它们的前n 项和分别为n S 和n T ,若3413-+=n n T S n n ,那么=nn b a ___________(答:6287n n --) 7.“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小值是所有非正项之和。
法一:由不等式组⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前n 项是关于n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性*n N ∈。
上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?如(1)等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。
(答:前13项和最大,最大值为169);(2)若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 (答:4006)8.如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究n m a b =.四.等比数列的有关概念: 1.等比数列的判断方法:定义法1(n na q q a +=为常数),其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a aa a +-= (2)n ≥。
如(1)一个等比数列{n a }共有21n +项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则1n a +为____(答:56);(2)数列{}n a 中,n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1,若n n n a a b 21-=+ ,求证:数列{n b }是等比数列。
2.等比数列的通项:11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
如设等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -=,前n 项和n S =126,求n 和公比q . (答:6n =,12q =或2) 3.等比数列的前n 和:当1q =时,1n S na =;当1q ≠时,1(1)1n n a q S q-=-11n a a qq -=-。
如(1)等比数列中,q =2,S 99=77,求9963a a a +++ =44(2))(101∑∑==n nk k nC的值为__________(答:2046);特别提醒:等比数列前n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q 是否为1时,要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。
4.等比中项:若,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ,等比中项为B ,则A 与B 的大小关系为______(答:A >B )提醒:(1)等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、q 、n 、n a 及n S ,其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2;(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,22,,,,a a a aq aq q q…(公比为q );但偶数个数成等比时,不能设为…33,,,aq aq qaq a ,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为2q 。
如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。
(答:15,,9,3,1或0,4,8,16) 等比数列的性质:1.当m n p q +=+时,则有m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a =.如(1)在等比数列{}n a 中,3847124,512a a a a +==-,公比q 是整数,则10a =___(答512); (2)各项均为正数的等比数列{}n a 中,若569a a ⋅=,则3132310log log log a a a +++= 102.若{}n a 是等比数列,则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列;若{}{}n n a b 、成等比数列,则{}n n a b 、{}nna b 成等比数列; 若{}n a 是等比数列,且公比1q ≠-,则数列232,,n n n n n S S S S S -- ,…也是等比数列。
当1q =-,且n 为偶数时,数列232,,n n n n n S S S S S -- ,…是常数数列0,它不是等比数列. 如(1)已知0a >且1a ≠,设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈,且12100100x x x +++=,则101102200x x x +++= . (答:100100a );(2)在等比数列}{n a 中,n S 为其前n 项和,若140,1330101030=+=S S S S ,则20S 的值为______(答:40)3.若10,1a q >>,则{}n a 为递增数列;若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列;若10,01a q ><< ,则{}n a 为递减数列;若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列;若0q <,则{}n a 为摆动数列;若1q =,则{}n a 为常数列.4.当1q ≠时,b aq qaq q a S n n n +=-+--=1111,这里0a b +=,但0,0a b ≠≠,这是等比数列前n 项和公式的一个特征,据此很容易根据n S ,判断数列{}n a 是否为等比数列。