第十一单元 第六节随机数与几何概型
一、选择题
1．在区间[0,3]上任意取一点，则此点坐标不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79 【解析】 依题意，此点坐标不大于2的区间为[0,2]，区间长度为2，而区间[0,3]的长
度为3，所以此点坐标不大于2的概率是23
. 【答案】 C
2．(精选考题·宁波质检)在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正
方形，这个正方形的面积介于36 cm 2与49 cm 2之间的概率为( )
A.110
B.15
C.310
D.25
【解析】 点P 的区域长度为10 cm ，所求事件构成的区域长度为6 cm 到7 cm ，其长度
为1 cm ，∴P ＝110
. 【答案】 A
3.
如图是一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )
A.2π
B.1π
C.12 D ．1－2π
【解析】 扇形面积S ＝14×π×22＝π，弓形面积S 1＝π－12×22＝π－2，∴P ＝π－2π
＝1－2π
. 【答案】 D
4.
如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在锐角∠xOT 内的概率是( )
A.13
B.14
C.15
D.16
【解析】 OA 等可能地落在平面内，构成区域为(0°，360°)，所求事件区域为(0°，
60°)，∴P ＝60360＝16
. 【答案】 D
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1内任意取点，则该点落在四棱锥B1－ABCD内的概率是( )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
【解析】不妨设长方体的长、宽、高分别为a
，b，c，则该点落在四棱锥B1－ABCD内的概率为
P＝
VB1－ABCD
VABCD－A1B1C1D1
＝
1
3
abc
abc
＝
1
3
.
【答案】 B
6．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A.
1
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
【解析】如右图所示，任取一组平行线进行研究，由于圆心落在平行线间任一点是等可能的且有无数种情况，故本题为几何概型．因为圆的半径为1 cm，所以圆心所在的线段长度仅能为1 cm，所以P＝
1
3
.
【答案】 B
7．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.
π
4
B．1－
π
4
C.
π
8
D．1－
π
8
【解析】如图所示，点构成的区域为长方形ABCD，所求事件构成的区域为图中阴影部
分，∴P＝
2－
π×12
2
2
＝1－
π
4
.
【答案】 B
二、填空题
8.
右图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．
【解析】
S
10
＝
138
300
，∴S＝4.6.
【答案】 4.6
9.
在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是________．
【解析】 设A
＝“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一个点在劣弧
C D 上时，|BE |>|BC |，而劣弧C D 的弧长是圆的周长的13. ∴P ＝13
. 【答案】 13
10．从[1,10]中任取两个实数，两数之和大于10的概率是________．
【解析】 设两数为x ，y ，则(x ，y )满足的区域为{ 1≤x ≤10，1≤y ≤10，如图正方形ABCD ，∵x ＋y >10，
∴所求事件(x ，y )满足的区域为{ 1≤x ≤10，1≤y ≤10，x ＋y >10，
如图多边形BCDEF ，∴P ＝S BCDEF S ABCD ＝4981
.
【答案】
4981
三、解答题
11．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明的父亲离开家去工作的时间在早上7：00到8：00之间，问小明的父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？
【解析】 设事件A ＝“小明的父亲离开家前能得到报纸”，在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x ≤y ，而(x ，y )的所有可能结果是边长为1的正方形ABCD ，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示．
则S 阴＝12－12×12×12＝78
，S 正方形ABCD ＝1， ∴P ＝S 阴S 正方形ABCD ＝7
81＝78
. 12．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1＜0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}．
(1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠∅的概率；
(2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ≠∅的概率；
【解析】 (1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共9组．
令函数f (x )＝ax ＋b .2x －1，x ∈[－1,0]，
则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x .
因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )＞0，
即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．
f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b
2
－1. 要使A ∩B ≠∅，只需－a ＋b a
－1＜0，即2a －b ＋2＞0.
所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组．
所以A ∩B ≠∅的概率为79
. (2)
因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.
由(1)可知，要使A ∩B ＝∅，
只需f (x )min ＝－a ＋b 2
－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝∅的(a ，b )对应的区域是图中的阴影部分，所以S 阴影＝12×1×12＝14
. 所以A ∩B ＝∅的概率为P ＝1
44＝116
.。