球与几何体的外接与内切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .答： 43V π∴=球 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法:补成长方体，正方体例3，则其外接球的表面积是 . 答： 249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =变式1：如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥BC ，DA=AB=BC=2，则球O 的体积等于 . 23 变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ B ）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π 变式3：棱长为2的正四面体的外接球的表面积为 . π3 内切球的表面积 .3π 变式4：四面体BCD A -中6==CD AB ,5====BC AD BD AC ,求其外接球的表面积. π43变式5：边长为2的正三角形ABC ∆,沿高AD 翻折使B 和C 距离1，求四面体ABCD 的外接球的表面积。
313π A O D B 图4变式6：表面积为32的正八面体的外接球的体积为 . π32 四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 答：43V π=球 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。
答：π223a 变式2：正三棱锥的高为 1，底面边长为26 。
求棱锥的内切球的表面积。
23π 变式3：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为332π， 则该三棱柱的体积为。
33五、确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为1256π 变式1：三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ）321 变式2：如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．（1）233133-=+=+r R （2）433-==r R 变式3：把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 答：3622+．C DA B S O 1图3图球的专题训练1．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是( ) A ．π B . 2π C. 3π D . π322．ABC Rt △的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC 的距离是（ ）Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．123.用与球心距离为1的平面去截球所得截面面积为π，则球的体积为（ ） A.323π B.83π C.82π D. 823π 4.设M 是球心O 的半径OP 的中点，分别过,M O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( )A ．41 Ｂ．12 C ．23 D ．345.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）A ．1∶3 Ｂ．1∶3 C ．1∶33 D ．1∶97. 如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=,则求O 的表面积为（ ）A ．4π Ｂ．8π C ．12π D ．16π8.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =O 表面积等于( )A ．4π Ｂ．3π C ．2π D ．π9．正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为,62则此球的表面积为（ ）A ．36π Ｂ．48π C ．50π D ．18π10．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．22B ．1C ．212+D ．2 11．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．334 B ．33 C ．34 D ．31212．一个四面体A ﹣BCD 中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π50 B ．π25 C ．325π D ．350π 13．如图，平面四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1， ，将其沿对角线BD 折成四面体 A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．π23B ．π3C ．π32D ．π214．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为（ ）A ．2173 B ．102 C ．213 D ．103 15．四个顶点都在球O 上的四面体ABCD 所有棱长都为12，点E 、F 分别为棱AB 、AC 的中点，则球O 截直线EF 所得弦长为（ ）A ．56 B ．12 C ．36 D ．2616．三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA=2AB=6，则该球的体积为（ ）A ．π316 B ．π332 C ．π48 D ．π36417．已知半径为5的球O 被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ）A ．10 B ．11 C ．32 D ．1318．将长宽分别为3和4的长方形ABCD 沿对角线AC 折起直二面角，得到四面体A ﹣BCD ，则四面体A ﹣BCD 的外接球的表面积为（ ）A ．π25 B ．π50 C ．π5 D ．π1019.已知球O 表面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于 。
20.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 21．设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足AB ⊥AC ，AD ⊥AC ，AB ⊥AD ，则S △ABC +S △ABD +S △ACD 的最大值是 ．22．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC 的距离为 ；（2）过A ，B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 ．23．正三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r= ．25．设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r 的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？1-6ADDDCC 7-12 DAA DBB 13-18 ACAB D A19. 29π 20. 34π 21.8 22. 12,3 23. 3 24. 25.。