答案：56π
三基能力强化
5．在△ ABC 中，如果 A＝60°，c＝ 2， a＝ 6，则△ ABC 的形状是________．
答案：直角三角形
课堂互动讲练
考点一 正弦定理的应用
已知两角和一边，该三角形是确 定的，其解是唯一的；已知两边和一 边的对角，该三角形具有不唯一性， 通常根据正弦定理和大边对大角定理 进行判断．
基础知识梳理
1．正弦定理
(1)基
本形
式
：a sinA
＝b sinB
＝c sinC
＝
2R(2R 是△ ABC 外接圆的直径)．
(2)变形式： ①a＝ 2RsinA，b＝ 2RsinB，c＝ 2RsinC. ②S△ ABC＝ 12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
基础知识梳理
1.正弦定理的适用条件是什么？ 【思考·提示】 (1)已知一边和 两角解三角形； (2)已知两边和一边的对角解三角 形； (3)已知两边与夹角求面积．
课堂互动讲练
例1 已知下列各三角形中的两 边及其一边的对角解三角形， 先判断三角形是否有解？有解 的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
课堂互动讲练
【思路点拨】 已知三角形的两 边及其中一边的对角，可利用正弦定 理解三角形，但要注意解的判断．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：由余弦定理知
cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2，
将上式代入ccoossBC＝－2ab＋c，
得a2＋c2－ 2ac
b2 2ab ·a2＋b2－
c2＝－2ab＋
， c
整理得 a2＋c2－b2＝－ac.
∴cosB＝
a2＋c2－ 2ac
b2＝－2aacc＝－12.
三基能力强化
1．(2009 年高考福建卷改编)已知钝 角△ ABC 的面积为 3 3，BC＝4，CA＝3， 则角 C 的大小为( )
A．60° C．135° 答案：B
B．120° D．150°
三基能力强化
2．在△ ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b ＝4 2，则 B 等于( )
A．45°或135° C．45° 答案：C
课堂互动讲练
当 B＝120°时，C＝30°，c＝assininAC＝ 2 s3ins3in03°0°＝2 3.
∴B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝ 120°，C＝30°，c＝2 3.
【易误点评】 在(2)中容易漏掉 B＝120°的情形，对于已知两边和其 中一边的对角，解三角形问题，容易 出错，一定要注意是一解、二解还是 无解．
基础知识梳理
2．余弦定理
(1)基本形式：a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC.
(2)变形式：
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
cosA＝ 2bc ，cosB＝ 2ac ，
a2＋b2－c2
cosC＝ 2ab .
基础知识梳理
2.余弦定理的适用条件是什么？ 【思考·提示】 (1)已知两边与 夹角求第三边； (2)已知三边解三角形； (3)已知两边及一对角求第三边 (利用方程思想)．
课堂互动讲练
互动探究 若例 1 的要求不变，条件为(1)a＝7，
b＝8，A＝105°； (2)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
课堂互动讲练
解：(1)a＝7，b＝8，a<b，∴B>A＝105°>90°.
∴本题无解．
(2)b＝10，c＝5 6，b<c，
∴B<C＝60°<90°.∴本题有一解．
∵sinB＝bsicnC＝10·5sin660°＝ 22，
课堂互动讲练
例2 在△ ABC 中，a、b、c 分别是
角
A、B、C
的对边，且cosB＝－ cosC
b 2a＋c.
(1)求角 B 的大小；
(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求
△ ABC 的面积．
课堂互动讲练
【 思 路 点 拨 】 由 cosB ＝ － cosC
2ab＋c，利用余弦定理转化为边的关 系求解．
课堂互动讲练
【解】 (1)a＝10，b＝20，a<b， A＝80°<90° 讨论如下： ∵bsinA ＝ 20·sin80°>20·sin60° ＝10 3， ∴a<b·sinA， ∴本题无解．
课堂互动讲练
(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90° 又∵bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA， ∴本题有两解． 由正弦定理得 sinB＝bsianA＝6s2in330° ＝ 23， B＝60°或 120°. 当 B＝60°时，C＝90°， c＝assininAC＝ 2 s3ins3in09°0°＝4 3；
∴B＝45°，A＝1i·sni4n57°5°＝10×
6＋ 4
2
2 ＝5(
3＋1)．
2
课堂互动讲练
考点二 余弦定理的应用
已知三边”解三角形主要运用余 弦定理的推论．“已知两边和它们的 夹角”解三角形可使用余弦定理求第 三边，然后利用推论求出另一个角， 最后利用A＋B＋C＝π求出第三个 角．
课堂互动讲练
【名师点评】 本题(1)中法一是 利用余弦定理把角转化为边，把边转 化为角．法二是利用正弦定理．
课堂互动讲练
B．135° D．75°
三基能力强化
3．在△ABC中，若A＝120°，AB ＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( )
A.3 4 3 C.154 3
答案：C
B.152 3 D.158 3
三基能力强化
4．在△ ABC 中，角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c，若 a＝1，b＝ 7， c＝ 3，则 B＝______.
∵B 为三角形的内角，∴B＝23π.
课堂互动讲练
法二：ccoossBC＝－2sinsAin＋BsinC ∴2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC ∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0 ∴2sinAcosB＋sinA＝0. ∴cosB＝－12，∴B＝23π.
课堂互动讲练
(2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝23π， 代入 b2＝a2＋c2－2accosB，得 b2＝(a ＋c)2－2ac－2accosB， ∴13＝16－2ac(1－12)，∴ac＝3， ∴S△ABC＝12acsinB＝34 3