第一章
解三角形
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1.1 正弦定理和余弦定理
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1．1.2 余弦定理
课前自主预习
பைடு நூலகம்
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论． 2．能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状.
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课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
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类型二 判断三角形的形状 [例2] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且 sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利 用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
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[解] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60°. 又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝ 2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°，∴△ABC是等边三角形．
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2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
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[点评] 1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属 于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值．
2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”型及“SSS”型．
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变式训练1 已知在△ABC中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 求△ABC的各角度数．
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[点评] 判断三角形形状的方法 (1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
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变式训练2
在△ABC中，已知cos2
A 2
＝
b＋c 2c
(a，b，c分
别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
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思考感悟
1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理 是否能求出其他元素？
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提示：能．已知三角形两边与一角有如图所示的两种 情况：
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图①中已知角A和边a，b，可先由正弦定理先求角B和 角C，继而可求边c.
图②中已知角A和边b，c，可先由余弦定理求边a，继 而可由正弦定理求角B和角C.
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3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？ 提示：(1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反 之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A ＝90°，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之， 若90°<A<180°，则a2>b2＋c2.
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课堂 互 动 探 究
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
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典例导悟 类型一 利用余弦定理解三角形 [例1] 在△ABC中，已知b＝3，c＝2 3，A＝30°，求 边a、角C和角B.
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[解] 直接应用余弦定理： a2＝b2＋c2－2bccosA ＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×cos30°＝3，∴a＝ 3. ∴cosB＝a2＋2ca2c－b2＝ 32×2＋32×322－3 32＝12. ∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
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解：在△ABC中，由已知cos2A2＝b＋2cc得 1＋2cosA＝b2＋cc，∴cosA＝bc. 根据余弦定理得b2＋2cb2c－a2＝bc， ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
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新知初探 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
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若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边 长，则
a2＝__b_2_＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A__， b2＝__a_2_＋__c_2_－__2_a_c_c_o_s_B__， c2＝__a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C__.
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2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另b一2＋种c2表－达a2形式是 cosA＝_____2_b_c______，
a2＋c2－b2 cosB＝_____2_a_c______，
a2＋b2－c2 cosC＝_____2_a_b______.
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须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定 理的特例．角A为钝角⇔__a_2_>_b_2_＋__c_2___，角A为直角⇔ __a_2_＝__b_2_＋__c_2_，角A为锐角⇔___a_2_<_b_2＋___c2__.
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解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝26×＋ 6×3＋ 132＋－14＝ 22，∴A＝45°. cosB＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16 ＝12，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
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3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知三边，求_各__角__； (2)已知两边和它们的夹角，求第__三__边__和__其__他__两___个__角_．