函数与方程的综合应用
例2 (1)(2018·烟台二模)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，当x ∈R 时，称y
＝[x ]为取整函数，例如[1.6]＝1，[－3.3]＝－4，若f (x )＝[x ]，g (x )的图象关于y 轴对称，且当x ≤0时，g (x )＝－x 2－2x ，则方程f (f (x ))＝g (x )解的个数为( D )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 根据已知条件可知，当x >0时，－x <0，又函数g (x )的图象关于y 轴对称，故
g (x )为偶函数，所以g (x )＝g (－x )＝－(－x ＋1)2＋1＝－(x －1)2＋1.由f (x )＝[x ]，得f (f (x ))
＝[x ]．在同一平面直角坐标系中画出y ＝f (f (x ))与y ＝g (x )的图象如图所示，由图象知，两个图象有4个交点，交点的纵坐标分别为1,0，－3，－4，当x ≥0时，方程f (f (x ))＝g (x )的解是0和1；当x <0时，g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－3得x ＝－3，由g (x )＝－(x ＋1)2＋1＝－4得x ＝－1－
5.综上，f (f (x ))＝g (x )的解的个数为4.
(2)(2018·中山一模)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
|log 3x |，0<x ≤3，13x 2
－10
3x ＋8，x >3，若方程f (x )＝m (m ∈R )
有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3－3
x 4－3
x 1x 2
的取值范
围是( B )
A ．(0,4]
B ．(0,3)
C ．(3,4]
D ．(1,3)
[解析] 如图，作出函数f (x )的图象，
显然，A (3,1)，又当0<x ≤3时，f (x )≥0，
因为方程f (x )＝m 有四个不同的实根，所以0<m <1. 由f (x 1)＝f (x 2)可得，|log 3x 1|＝|log 3x 2|， 又因为0<x 1<1<x 2，
所以log 3x 1＋log 3x 2＝0，解得x 1x 2＝1.
因为函数y ＝13x 2－103x ＋8的图象的对称轴为x ＝5， 故由f (x 3)＝f (x 4)可得x 3＋x 4＝10. 故x 3－3
x 4－3
x 1x 2
＝(x 3－3)(x 4－3)＝(x 3－3)(7－x 3)＝－x 23＋10x 3－21＝－(x 3－
5)2＋4.
记
g (t )＝－(t －5)2＋4，由
0<m <1，即0<13x 2－10
3
x ＋8<1，解得3<x <4或6<x <7.又x 3<x 4，所以3<x 3<4，又g (t )＝－(t －5)2＋4在(3,4)上单调递增，所以当3<t <4时，
g (3)<g (t )<g (4)，即g (t )∈(0,3)．
『规律总结』
应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解． (2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
G 跟踪训练
en zong xun lian
已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，
log a x ＋1＋1，x ≥0，(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关
于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( C )
A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤
0，23
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34
D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34
[解析] 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减， 则0<a <1，
又由f (x )在R 上单调递减，
则：⎩
⎪⎨⎪⎧
02＋4a －3·0＋3a ≥f 0＝1，
3－4a
2≥0，
解得13≤a ≤34
.
结合f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，||f x ＝2－x 有且仅有一个解，
故在(－∞，0)上，||f x ＝2－x 同样有且仅有一个解，
当3a >2，即a >2
3
时，
联立||
x 2＋4a －3x ＋3a ＝2－x ， 则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，
解得：a ＝3
4
或1(舍)，
当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件．
综上：a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
34.。