必修一 《函数与方程》
1．已知函数f (x )＝6
x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4)
D ．(4，＋∞)
2．已知函数f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,3)内近似解的过程中，取区间中点x 0＝2，那么下一个有根区间为( )
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(1,2)或(2,3)都可以
D ．不能确定
3．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ()－12·
f ()1
2<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( ) A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根 C ．有唯一的实数根
D ．没有实数根
4．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
5．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c
D ．c <a <b
6．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0,9]上解的个数是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________。

9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m 。

若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________。

答案 (1,2]
10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋1
4。

证明：存在x 0∈()0，1
2，使f (x 0)＝x 0
11．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x 。

(1)写出函数y ＝f (x )的解析式。

(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围。

B 组 培优演练
1．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”。

若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )
A ．[2,4]
B .⎣⎡⎦
⎤2，73 C .
[]
7
3
，3 D ．[2,3]
解析 函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x
－1
＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2。

由于g (x )＝x 2－ax
－a ＋3必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎨⎧
g (0)≥0g ()
a 2≤0，即⎩⎨⎧
－a ＋3≥0
()
a 2
2－a ·a 2－a ＋3≤0
，解得2≤a ≤3。

2．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0。

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围。

3．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )
A .
(]0，12
B .
[]12
，3 C ．(0,3] D ．[3，＋∞)
解析 由题意得g (x )min ≤f (x )min 且g (x )max ≥f (x )max ，f (x )在区间[－1,2]上的最大值f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )在区间[－1,2]上的最小值f (x )min ＝f (1)＝－1。

由于g (x )＝ax ＋2(a >0)在区间[－1,2]上单调递增，则g (x )min ＝g (－1)＝－a ＋2，g (x )max ＝g (2)＝2a ＋2，故⎩⎨⎧
－a ＋2≤－1，
2a ＋2≥3，
解得a ≥3。

答案 D
4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x －2x ，x ≥0
x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________。

解析 如图，画出f (x )的图像，由图像易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1。

答案 (－3,1)
5．若方程x 2
＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2
a －1
的取值范围是________。

解析 令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，
∴⎩⎨⎧
f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0。

∴⎩⎨⎧
b >0，
a ＋2
b <－1，a ＋b >－2。

根据约束条件作出可行域，可知14<b －2
a －1
<1。

答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，1
6．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0。

(1)求证：－2< b
a <－1；
(2)若x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围。

解 (1)证明：当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，
则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0， 则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0 即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫
b a ＋2<0，从而－2<b a <－1。

(2)x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根， 则x 1＋x 2＝－2b
3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a ，
那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2b 3a 2＋4×a ＋b 3a ＝49·
⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4b 3a ＋43＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋322＋13。

∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<4
9，
∴33≤|x 1－x 2|<23，即|x 1－x 2|的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫33，23。