Z1
p1
g
Z2
p2
g
24
若质量力仅为重力，根据等压面方程：
axdxaydyazdz0
则有：
azdz 0 Z const
这说明绝对静止流体的等压面为水平面，自由 界面上各点的压力相等，所以自由面为等压面。
25
2.可压缩流体
可压缩流体的密度是随压强变化的，故不能 象不可压缩流体那样进行简单积分，只有知道密 度变化关系后才能积分。假设可压缩流体为气体， 对完全气体的等温过程，有：
19
四、等压面和等压面方程
1.等压面定义 若某连续曲面上各点的压强相等，则称为该
曲面为等压面。不同流体的分界面等皆为等压面， 如自由界面、不同液体的分界面。 2.等压面方程
(4)dx (5)dy (6)dz
p xd x p yd y p zd z(a X d x a yd y a zd z)
p lim P A0 A
3
二、静压强有两个特点
1)．静压强的方向永远沿着作用面的内法线方 向，理由如下：
(1)如果静压强不垂直于作用面，则可分解为正 应力和切应力。根据流体的特点，切应力存在必然 引起相对运动，这与静止液体假设矛盾，故切应力 必须为零。压强垂直于作用面。
4
(2)正应力有拉应力和压应力之分，假如压 强方向与作用面外法线方向一致，那么流体受 到拉力，根据流体特性，流体不能承受拉应力， 只能承受压应力，故压强方向与作用面内法线 方向一致。
ay
p y
0
(5)
az
p z
0
(6)
因此，用矢量表示 ：
axiayjazk p xi p y j p zk 0
a rp0
13
二、流体静止时质量力必须满足的条件
静止流体的平衡微分方程可以写成：
a
p
两边取旋度，有：
a
p
i
x 1 p
j
y 1 p
k
z
1 p
x y z
14
y
1
p z
z
1
p y
i
z
1
p x
x
1
p z
j
x
1
p y
y
1
p x
k
15
y
1
p z
z1p yi 来自z1p x
x
1
p z
j
x
1
p y
y
1
p x
k
1
p
16
故：
a
•
a
p
•
1
p
y
1
p z
z
1
p y
1
p x
FX dxdydzax
FY dxdydzay FZ dxdydzaz
10
11
首先，沿X方向建立平衡方程，即：
p1
p1
(p x 2 d x ) d y d z (p x 2 d x ) d y d z a x d x d y d z 0
整理得：
ax
p x
0
(4)
12
同理 在Y和Z方向上分别有：
5
2).静止流体的某一点压强大小与作用面 的方位无关，任意一点的静压强在各个方向上 相等。
在静止流体中，任取一四面体，则各面受 力情况如图示：
Px
1 2
pxdydz
1 Py 2 pydxdz
Pz
1 2
pzdxdy
6
斜面BCD的压力 ，如果质量力 F Ma 它 在三个方向上的分量为 : FxMax , FyMay
20
按照多元函数全微分的定义，有：
dppdxpdypdz x y z
故：
d p(a X d x a yd y a zd z)
当某个面上压强等于常数时，dp=0。这时可以 得到等压面方程：
a X d x a yd y a zd z 0 (ad) l0
21
上式表明质量力沿等压面移动 ，其做功为零， 也说明质量力垂直于等压面，这是等压面重要 的性质。如果已知质量力方向，可求等压面的 几何形状。当质量力仅为重力时，等压面必定 为水平面。互不掺混的两种流体的分界面也是 等压面。
（1) （2)
（3)
7
将 Px 、Pn 代入方程式（1），整理得：
1 2 p x d y d z 1 6d x d y d za x p n B C D c o s (n ,x ) 0
其中 BCcD ons,x()1 2dydz ，故：
px 1 3axdx pn 0
8
同理：
py 13aydy pn 0
z
1
p x
x
1
p z
1
p y
x
1
p y
y
1
p x
1
p z
0
17
三、质量力有势
对于静止的不可压缩均值流体，其密度ρ等 于常数，静止流体的平衡微分方程可写成：
a
p
两边取旋度，有：
a
p
18
i
j
k
a
p
x
y
z
0
xp yp zp
上式说明对于静止的不可压缩均值流体， 质量力有势。
pz 13azdz pn 0
当 dx、dy 和dz 趋于零时，有：
pz pn 0 py pn 0 px pn 0 即 pxpypzpn，这说明静止流体中任意一点的静压强 在各个方向上都相等。
9
§2.2 静止流体平衡微分方程
一、平衡微分方程
在静止流体中围绕某一点A取一六面体，A 点的压强为p ，表面力中只有沿内法线方向作 用在六个面上的压力，各个面上的压强如图示。 六面体的质量在坐标上的分量为：
工程流体力学
主讲: 冯 进
1
§2 流体静力学
流体静止包括两种情况：一是流体对绝 对坐标系（地球）整体是静止的；另一种情况 是流体整体对绝对坐标系是运动的，但流体内 部没有相对运动，称为相对静止。研究绝对静 止和相对静止液体的平衡状况，这是本章讨论 的内容。
2
§2.1 液体静压强及其特点
一、压强
在静止或相对静止的流体中，单位面积上沿 内法线方向的表面力称为压强。从静止液体中， 取一微元体（如图），作用于 上A沿的内法 线方向的作用力为 ，P则根据定义
22
§2.3 绝对静止液流体的压强分布
一、绝对静止流体的压强基本方程
1.不可压缩均值流体
绝对静止液体所受到的质量力只有重力， 取坐标轴如下图所示，则单位质量流体的质量
力为：
aX 0
aY 0
aZ
mgg m
23
根据平衡微分方程，有：
dp g
dz
解得：
pgzC
对于点1和2的关系，则有：
g1 Z p 1g2Z p 2
FzMaz 。根据立体几何知道，四面体的体 积为:1 dxdydz ，若流体的密度为ρ，根据理论
6
力学可以写出四面体上诸力对各坐标轴的平衡
方程式为：
P x1 6dxd ax yP n d co zn ,x s ) (0 P y1 6dxd ay yP n d co zn ,y s) (0
P z1 6dxd az yP nd co zn,zs) (0