【市级联考】广西壮族自治区柳州市2019届高三3
月模拟考试数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．
2. 设为虚数单位，则复数的虚部为（）
A．B．C．-1 D．1
3. 已知，，，则（）．
A．B．C．D．
4. 在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若
在内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）
A．0.25 B．0.1 C．0.125 D．0.5
5. 圆关于直线对称的圆的方程是（）
A．B．
C．D．
6. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
7. 等差数列中，若，则的值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
8. 已知菱形的边长为2，为的中点，，则的值为（）
A．4 B．-3 C．D．
9. 关于函数，有下列叙述：
（1）其图像关于直线对称；
（2）其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的倍得到；
（3）其图像关于点对称；
（4）其值域是.
则叙述正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10. 在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（）
A．36 B．72 C．24 D．48
11. 已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．
12. 如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（）
A．当时，平面
B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为
C．的最小值为
D．当时，平面
二、填空题
13. 若实数、满足约束条件，则的最大值为
_______．
14. 如图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为2的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体的体积为
________．
15. 已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得
，则的最小值为________．
16. 已知函数与的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数的取值范围是______．
三、解答题
17. 在中，角所对的边分别为，且
.
（1）求角；
（2）若，的中线，求的面积.
18. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与
空气
质量
指数
空气
质量等级1级优2级良
3级轻度
污染
4级中度
污染
5级重度
污染
6级严重
污染
该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.
（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？
（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；
（3）从这10天的数据中任取三天数据，记表示抽取空气质量良的天数，求的分布列和期望.
19. 如图，菱形的对角线与相交于点，平面，四边形为平行四边形.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，点在线段上，且，求平面与平面所成角的正弦值.
20. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意一点，关于原点的对称点为，有，且的最大值.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是关于轴的对称点，设点，连接与椭圆相交于点
，问直线与轴是否交于一定点.如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.
21. 已知函数在区间上为增函数，.
（1）求实数的取值范围；
（2）当取最大值时，若直线：是函数的图像的切线，且，求的最小值.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），
将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程及直线的直角坐标方程；
（2）设点为曲线：上的任意一点，求点到直线的距离的最大值.
23. 选修4-5：不等式选讲
（1）如果关于的不等式无解，求实数的取值范围；
（2）若为不相等的正数，求证：.。