第二章解读函数
1-6题中：
（1）只要不满足C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解读 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导y x y x v v u u ,,,，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。

（3）解读两种情况：第一种函数在区域内解读，只要在区域内处处可导，就处处解读；第二种情况函数在某一点解读，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解读，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解读。

（4）解读函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解读的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解读函数。

解读函数求导：x x iv u z f +=')(
4、若函数)(z f 在区域D 上解读，并满足下列的条件，证明)(z f 必为常数。

（1）证明：因为)(z f 在区域上解读，所以。

令),(),()(y x iv y x u z f +=，即x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,0=∂∂+∂∂='y
v
i x u z f )(。

由复数相等的定义得：
00=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂x
v y u y v x u ,。

所以，1C y x u =),((常数)，2C y x v =),((常数)，即21iC C z f +=)(为常数。

5、证明函数在平面上解读，并求出其导数。

（1）
()()0f z z D '=∈z (cos sin )(cos sin ).x x
e x y y y ie y y x y -++
证明：设=
则
，
；
；
满足
x
v
y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,。

即函数在平面上),(y x 可微且满足C-R 条件，故函数在平面上解读。

8、（1）由已知条件求解读函数iv u z f +=)(，xy y x u +-=22，i i f +-=1)(。

解：
由于函数解读，根据C-R 条件得
y x v u y x +==2
于是
)(x y xy v ψ++=2
22
其中)(x ψ是x 的待定函数，再由C —R 条件的另一个方程得
x y u x y v y x -=-='+=22)(ψ，
所以x x -=')(ψ，即c x x +-=2
2
)(ψ。

于是
c x y xy v +-+=2
222
2
又因为i i f +-=1)(，所以当10==y x ,，时1=u ，121
=+=c v 得2
1=c
()()(),,f z u x y iv x y =+(cos sin )(cos sin ).
x x e x y y y ie y y x y -++(),(cos sin )
x u x y e x y y y =-(),(cos sin )
x v x y e y y x y =+(cos sin )cos x x
u e x y y y e y
x ∂=-+∂cos sin cos x x x v e y y ye x ye y ∂=-+∂(sin sin cos )x u e x y y y y y ∂=-++∂(cos sin sin )x v
e y y x y y x ∂=++∂z z ()(cos sin cos )(cos sin sin )x x u v
f z i e x y y y y ie y y x y y x x ∂∂'=
+=-++++∂∂2,2x y u x y u y x
=+=-+
所以
)()(2
1
222222
2
+-+++-=x y xy i xy y x z f 。

9、提示：解读函数的实部和虚部为调和函数，只要该函数不是调和函数则它就不能做为解读函数的实部或虚部。

10、提示：求出实部和虚部对x ，y 的一阶偏导，若不满足C-R 条件则肯定不是解读函数，若满足C-R 条件，同时满足一阶偏导存在且连续则为解读函数。

14.若iy x z +=，试证：（1）xshy i xchy z cos sin sin +=。

证：
= =
18、解方程 （1）31i e z += 解：)(ππ
k i z e i e 23
231+=+= 其中,......,,210±±=k
则
)(
ln ][)
(ππ
ππ
k i e
Ln z k i 23
2223
++==+
（2）2
π
i z =ln 。

解：
即
sin sin()sin cos cos sin z x iy x iy x iy =+=+()sin cos 22iiy i iy iiy iiy
e e e e x x
i --+-+()sin cos 22y y i iy y
e e e e x i x
--+-+sin cos xchy i xshy =+ln ln arg 02i z z i z π=+=+
设
，
得，即。

20、
（2）)sin(ln )cos(ln ln 33333i e e i iLn i +===试求i i i i e i i ++231,,,)(及)(i Ln +1。

解：（1）)(])[()(i iLn i Ln i e e i i
++==+111 因为
)(
ln ][)()
(ππ
ππ
k i e
Ln i Ln k i 24
22124
++==++
所以
)(ln )
(ln )
()(ππ
ππ
k k i i iLn i
e
e
e
e
i 24
2
224
211+-+-+===+
,......,,210±±=k
（3）iLni i e i =
)(
)(ππ
ππ
k i Lne
Lni k i 22
22
+==+
)(ππ
k iLni
i
e
e
i 22
+-==
,......,,210±±=k
（4）)sin (cos 11222i e e e e i i +==+ （5）)(
ln ][)()
(ππ
ππ
k i e Ln i Ln k i 24
22124
++==++
22，求证10=→z
z
z sin lim
证: (x,y,均为实数)，所以
1,arg 2z z π
==
z x iy =
+1
=()arg 2x iy π
+=
0,1x y ==z i =z x iy =+,sin sin()
lim
lim
z x y z x iy z x iy →∞→∞+=+
当则极限趋近于z 轴，有
当时，则极限趋于z 轴，有10=→x
x
x sin lim ， 故10=→z
z
z sin lim。

0x →sin lim 1iy iy i y iy e e iy iyz -→∞-==0y →。