故 Re(
五、证明题（每题10分，2题共20分）
1、试证下列函数 f ( z ) e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y ix sin y) 在 z 平面上解析，
并分别求出其导数.
2、若函数 f ( z ) 与 f z 在区域 D 内都解析，试证： f ( z ) 在区域 D 内必为常数.
5、解 令 z a bi , 则
w z 1 2 2(a 1 bi) 2(a 1) 2b 1 1 1 . 2 2 2 2 2 2 z 1 z 1 (a 1) b (a 1) b (a 1) b z 1 2(a 1) z 1 2b ) 1 ) , Im( . 2 2 2 2 z 1 (a 1) b z 1 (a 1) b
2、若函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在 D 内连续，则 u( x,y)与 v( x,y)都在 D 内连续. ( ) 3、若函数 f( z)在 z0 解析，则 f( z)在 z0 连续. 4、若 f( z)在区域 D 内解析，则|f( z)|也在 D 内解析. 5、cos z 与 sin z 的周期均为 2k . ( ( ( ) ) )
1、×
2、√
3、√ 4、×
5、√
三、填空题（每题2分，10题共20分）
1、 1 2i ,2 i
1 2、 Re( w ) 2
6、 ln 5 i arg tg

4 2k 1 π 3
7、 i 8、 e 2 k
( k 0,1,2,)
3、 7 2i 4、 1 i 5、
由柯西-黎曼定理，故 f z 在 z 平面上解析，且
f ' z e x cos y x 1 y sin y ie x sin y x 1 y cos y 或 f ( z ) ( z 1)e z .
2、证明：设 f z u iv. 则 f z u iv ，由 f z 与 f z 均在 D 内解析知 （1） u x v y , u y vx , （2） u x v y , u y vx , 结合此两式得 ux u y vx v y 0 ，故 u, v 均为常数
27 27 i 4 8
9、 arctan
4 3
10、 2ki (k 0,1,2,)
四、计算题（每题6分，5题共30分）
17 上的椭圆 15 v sin 2
u2 v2 1. 17 2 15 2 ( ) ( ) 2 2
（B）的判别式 =4 4a
（1）当 x =0 时， （A）式化为 y 2 y a 0 ， （B）
（1.1） 0 a 1 时， 0 ， y 1 1 a ， y (1 1 a ) ， 当 此时的解为 z (1 1 a )i （1.2）当 1 a 时， 0 ，此时 y 无解，即 z 无解. （2）当 y =0 时， （A）式化为 x 2 x a 0 ， （C）
工程数学（复变函数） 第二章复习题答案
湖南大学数学与计量经济学院
一、选择题（每题2分，10题共20分）
1、C 2、B 3、B 4、C 5、C 6、A 7、D 8、B 9、D 10、B
二、判断题（每题2分，5题共10分）
1、若 f(z)在 z0 的某个邻域内可导，则函数 f(z)在 z0 解析.
( )
1、证明： u x, y e x x cos y y sin y v x, y e x y cos y x sin y
ux e x x c o s y s i n y y uy ex x s i n s i n y y y c vy yo s c v x yo s
3、 （1） f (z ) 在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；
（2） f (z ) 在复平面处处连续.
4、
解 : z 3 1 z cos 2k 2k i sin 3 3 1 3 z1 cos i sin i 3 3 2 2 z 2 cos i sin 1 z 3 cos 5 5 1 3 i sin i 3 3 2 2 k 0,1,2
2
（C）的判别式 =4+4a
因为 a 0 ， （C）的判别式 恒大于 0， x 1 1 a ， x (1 1 a ) ， 此时的解为 z (1 1 a ) . 故，当 0 a 1 时解为 z (1 1 a )i 或 z (1 1 a ) ； 当 1 a 时解为 z (1 1 a ) .
2、设 a 0 ，在复数集 C 中解方程 z 2 2 z a . 解：令 z =x yi, 其中x, y为实数.
由复数相等得
2 2 2 2 则 z 2 z x y x y i2 2
x 2y a
xy =0 ， x 2 y 2 2
2
x2 y 2 ， a （A）