L16 42 29
三、应用正交表设计实验
（一）挑选因素确定水平
挑选出几个对试验指标影响大、而又了解不够清楚的因素，并根据经验和专业知识，确定各因 素适宜的水平，列出因素水平表。
（二）选择合适的正交表
根据试验因素和水平数以及是否需要估计互作来选择合适的正交表。 确定原则：即能安排下全部试验因素，又要使部分试验的水平（处理）组合数尽可能的少。 在正交试验中，最少试验次数（或处理组合）的确定可采用下面的公式计算： （无互作时） 处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+1 若存在互作，需要在上述处理组合数的基础上再加上互作的自由度。
A×C 5 1
D 7 1
种子产量
1
350
2
3 4 5 6 7 8 T1 T2 x1 x2
1
1 1 2 2 2 2 1525 1100 381.25 275.0
1
2 2 1 1 2 2 1125 1500 281.25 375.0
1
2 2 2 2 1 1 1325 1300 331.25 325.00
2
1 2 1 2 1 2 1250 1375 312.50 343.75
2
1 2 2 1 2 1 1400 1225 350.00 306.25
2
2 1 2 1 1 2 1300 1325 325.00 331.25
325
425 425 200 250 275 375 T=2625
R
106.25
-93.75
二、正交表的性质与种类
（一）正交表的性质
例2：设有一个四因素的实验，A：a=3，B：b=3，C：c=3，D：d=3。实验完全实施时，实 验的处理组合数=34=81次。为了提高实验效率，如果我们让每个因素的每个水平仅组合一 次，则实验可以安排如下： 实验号
A
1 1 1 2 2 2 3 3 3
B
1 2 3 1 2 3 1 2 3
一、正交实验的意义与特点
1、意义
在两向分组资料数据的方差分析中，如果做多因素的实验，且每因素有多个 水平的话，实验采取完全实施的实验设计时，则实验的处理数为实验因素的水平 数的乘积。随着因素数和水平数的增加实验处理组合急剧增加。
完全实施的实验设计的缺点
例1：某试验涉及的试验因素有A、B、C、三个，其中每个试验因素的水平均为3，即：a=3， b=3，c=3。那么，这个实验的试验处理数为a〃b〃c=333= 27个，若试验重复3次，则试 验实施之后，我们将进行的实验次数为273 = 81 次，即我们将获得81个数据。
1 A （ 1）
1 2 3 4
（ 2）
5
6
（ 5）
3
（ 6）
2
1
第 1 列安排A，第 2 列安排B，A、B间存在互作，查（1）与第 2 列的交点，该交点是3，即第 3 列是 A × B 的互作列。
将C安排在第4列，查第 1 列与第 4 列的互作列为第5列，第2列与第4列的互作列为第6列，因此， 为了不发生混杂，将D安排在第7列。
（四）列出试验方案
把正交表中安排各因素的每个列额（不包含预考察的交互作用列）中的每个数字依次换成该因 素的实际水平，就可得到一个正交试验方案。
例3：为了解决花菜留种问题，进一步提高花菜种子的产量和质量，科技人员考察了浇水、施肥、 病害防治和移入温室时间对花菜留种的影响。如果试验采用正交试验设计，问试验因素和试验 水平？最少需要实施几个试验处理？
2列 喷药次数
发病 喷药 发病 喷药 半月喷药一次 半月喷药一次 发病喷药 发病喷药 半月喷药一次
4列 施肥方法
1 开花施肥 2 施 4次 1 开花施肥 2 施 4次 1 开花施肥 2 施 4次 1 开花施肥
7列 进室时间
1 11月初 2 11月15日 2 11月15日 1 11月初 2 11月15日 1 11月初 1 11月初
如果实验的因素数上升为四个：A、B、C、D，因素的水平仍然为3，则实验的处理组合数为 a〃b〃c〃d=3333=81个，实验重复3次，则实验次数将为243次。
完全实施由于实验次数太多，实验误差将难于控制，试验效率低。
2、特点
正交实验设计是多因素分析的有力工具，特别是要从许多因素中找出主要 因素及其最优水平时，使用正交设计是最方便的。 正交实验设计是不完全实施的实验设计，正交实验之所以能用较少的实验 次数得到较多的实验信息，是因为它利用正交表安排实验，从实验的所有 处理中只选择一部分有代表性的处理组合参与实验； 此外，在对实验结果的分析上，它也借助正交表进行。
=（3-1） 8 +1=17
如果试验需要考虑A B、A C互作效应，则试验至少应该有几个处理组合？ 处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+ 1 + （互作的自由度）
=（3-1） 8 +1+ [ （3-1） （3-1） ] 2 = 25（个）
可以选择：L27（313）
=（2-1） 4+1 +（2-1）（2-1） 2= 7（个） 2、可以选择：L8（27）
3、表头设计：
L8 27
列号
试验号
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
1
2
3 4 5 6 7 8
1
1 1 2 2 2 2
1
2 2 1 1 2 2
1
2 2 2 2 1 1
2
1 2 1 2 1 2
（三）表头设计
表头设计就是把考察的因素和交互作用分别排在正交表表头的适当列上。 若不考察交互作用，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，则按该正交表的交互 作用列表安排各因素与交互作用。 表头设计的原则：
1、不要让主效应、主效应与交互作用间有混杂现象。由于正交表中一般都有互作列，因此当因 素少于列数时，尽量不在互作列中安排试验因素，以防止发生混杂。 2、当存在互作时，需查交互作用表，将交互作用安排在合适的列上。 3、表头设计好后，把该正交表中各列水平号换成各因素的具体水平就成为试验方案。
（说明任意因素任意水平的组合次数均等）。 具有这种特征的数字表称为正交表，正交表 具有“正交性”。
所谓的“正交”是指实验点（处理）在优选区里的均衡分布。
即每一个实验因素的每一个水平和其他实验因素的每一水平至少组合一次，且组合的机会均等、最少。
（二）正交表的种类及表示方法 1、具有相同水平的正交表
即不同的实验因素具有相同的水平。 正交表记为：LN（mk），
6.25
-31.25
43.75
-6.25
1、逐列计算各因素同一水平之和：例 A1之和=350+325+425+425=1525 2、逐列计算各因素同一水平的平均数：例 A1的平均数= T/r =1525/4=381.25 3、逐列计算各因素不同水平间的平均数的极差。 例：A因素平均数的极差为 R = 381.25 - 275.00 = 106.25 4、比较极差确定各因子或交互作用对结果的影响： 从前表可以看出，浇水次数和喷药次数的极差|R|分居第一、二位，是影响花菜种子产量的关键 性因子，其次是 A C 互作和施肥方法，进室时间和 A B 互作的影响较小。 5、水平选优与组合选优： 根据各个试验因子的总计数或平均数可以看出：A 取 A1，B 取 B2，C 取C2，D 取 D2 为好，在没 有互作存在时，花菜留种最好的管理方式为：A1B2C2D2 但由于 AC互作对产量的影响较大，所以花菜留种条件还不能这样选取，而A和C选哪个水平， 应根据 A 和 C 的最好组合。所以还要对 A C 的互作进行分析。
四因素两水平 处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+1 =（2-1） 4+1=5 可以选择：L8（27）
例4：某制药厂为了研究如何提高抗菌素发酵单位，欲设计一个试验，该试验共选择了有8个试 验因素，每个试验因素各3个水平。如果试验采用不完全实施的正交试验设计，则该试验至少应 该选择几个试验处理组合？ 处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+1
试验因素 A：浇水次数 B：喷药次数 C：施肥次数 D：进室时间 水 平 1
不干死为原则，整个生长期只浇一次水
水 平 2
根据生长需水量和自然条件浇水，但不过湿
发现病害即喷药 开花期施硫酸铵
11月初
每半月喷一次 进室发根期、抽薹期、开花期和结实期各一次
11月15日
1、处理组合数=（各试验因素的水平数-1）+1 + （互作的自由度）
C
1 2 3 2 3 1 3 1 2
D
1 2 3 3 1 2 2 3 1
将上述各实验处理的因 素及其水平的标号单独 列成表格，就有右表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
左表具有如下特点：
1、每一列中不同数字出现的次数相等。 （每列中各3个1、2、3，说明每因素的各个水平出现的次 数均等）
2、任取两列，同一行上的有序数对出现的次数也相同。
B C×D B C×D
5
列号 因子
1 A
2 B
3 A× B
4 CBiblioteka 5 A× C67 D
写试验方案：
列号 试验号
A
B
A× B 1 1 2 2 2 2 1 1
C
A× C 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
D
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
正交设计及其统计分析
文霖
正交设计
正交设计（orthogonal design）是一种研究多因素试验的设计方法。 正交设计是利用一套规格化的表格——正交表（orthogonal table）来合理 地安排与分析多因素试验的设计方法。 在全部试验组合中，选取其中有代表性的处理组合（让每个因素的每个水 平和其它因素的每个水平只碰到一次）来进行实验，通过部分实施了解全 面试验情况，从中找出较优的处理组合，这种实验设计的方法就是正交实 验设计，它是不完全实施或称为部分实施的实验设计。