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2019中考二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练题型一:面积问题【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ;(3)设点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P ,使S △PAB =89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.【变式练习】1.(2009广东省深圳市)如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB . (1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由.图22.(2010绵阳)如图,抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A (-4,0)、B (2,0),与y 轴交于点C ,顶点为D .E (1,2)为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G .(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标;(2)在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长; (3)若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大?并求出最大面积.3.(2012铜仁)如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C (1,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D 的坐标为(-1,0),在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E ,使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积?如果存在,请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由.题型二:构造直角三角形【例2】(2010山东聊城)如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =1,且抛物线经过A (-1,0)、C (0,-3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求这条抛物线所对应的函数关系式;(2)在抛物线的对称轴x =1上求一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,C E D GAxy OB F并求此时点M 的坐标;(3)设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点,求使∠PCB =90º的点P 的坐标.【变式练习】1.(2012广州)如图,抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C . (1)求点A 、B 的坐标;(2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,求点D 的坐标;(3)若直线l 过点E (4,0),M 为直线l 上的动点,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l 的解析式.2.(2009成都)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ,且COS∠BCO=310。

E(1)求此抛物线的函数表达式;(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ,使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P 的坐标:若不存在,请说明理由;(3)过点A 作x 轴的垂线,交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ 总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?3.(2012杭州) 在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k (x 2+x ﹣1)的图象交于点A (1,k )和点B (﹣1,﹣k ).(1)当k=﹣2时,求反比例函数的解析式;(2)要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大,求k 应满足的条件以及x 的取值范围;(3)设二次函数的图象的顶点为Q ,当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时,求k 的值4.如图(1),抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ,E (0,b )为y 轴上一动点,过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .(1)求点A 的坐标; (2)当b =0时(如图(2)),ABE 与ACE 的面积大小关系如何?当4b >-时,上述关系还成立吗,为什么?(3)是否存在这样的b ,使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形,若存在,求出b ;若不存在,说明理由.题型三:构造等腰三角形【例3】如图,已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【变式练习】1.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(m ,m ),点B 的坐标为(n ,﹣n ),抛物线经过A 、O 、B 三点,连接OA 、OB 、AB ,线段AB 交y 轴于点C .已知实数m 、n (m <n )分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根. (1)求抛物线的解析式;yxCBAOE yxCBAOE 第26题图(1)图(2)(2)若点P 为线段OB 上的一个动点(不与点O 、B 重合),直线PC 与抛物线交于D 、E 两点(点D 在y 轴右侧),连接OD 、BD . ①当△OPC 为等腰三角形时,求点P 的坐标; ②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D 的坐标.2.如图,抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点,已知BC x ∥轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC=BC .(1)写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式;(2)探究:若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB △是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P 坐标;不存在,请说明理由.3.(2010黄冈)已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C (1,1)且过原点O.过抛物线上一点P (x ,y )向直线54y =作垂线,垂足为M ,连FM (如图). (1)求字母a ,b ,c 的值;(2)在直线x =1上有一点3(1,)4F ,求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标,并证明此时△PFM 为正三角形;(3)对抛物线上任意一点P ,是否总存在一点N (1,t ),使PM =PN 恒成立,若存在请求出AC By x0 11t值,若不存在请说明理由.题型四:构造相似三角形【例4】(2011临沂)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【变式练习】1.(2012天水)如图,已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.(1)求该抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.(3)P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.7),且顶2. 如图,二次函数的图象经过点D(0,39点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.【例5】(2012苏州)如图,已知抛物线y=x2 - (b+1)x+(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.(1)点B的坐标为,点C的坐标为(用含b的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.【变式练习】1.(2012上海宝山)如图,平面直角坐标系xOy 中,已知点A (2,3),线段AB 垂直于y 轴,垂足为B ,将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°,点B 落在点C 处,直线BC 与x 轴的交于点D .(1)试求出点D 的坐标;(2)试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式,并写出其顶点E 的坐标;(3)在(2)中所求抛物线的对称轴上找点F ,使得以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似.2.(2012上海杨浦区)已知直线112y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,将△AOB 绕点O 顺时针旋转90︒,使点A 落在点C ,点B 落在点D ,抛物线2y ax bx c =++过点A 、D 、C ,其对称轴与直线AB 交于点P ,(1)求抛物线的表达式; (2)求∠POC 的正切值;(3)点M 在x 轴上,且△ABM 与△APD 相似,求点M 的坐标。

(图7)11 xyBAOy13.(2012宁波)如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A (﹣1,0),B (2,0),交y 轴于C (0,﹣2),过A ,C 画直线. (1)求二次函数的解析式;(2)点P 在x 轴正半轴上,且P A =PC ,求OP 的长;(3)点M 在二次函数图象上,以M 为圆心的圆与直线AC 相切,切点为H . ①若M 在y 轴右侧,且△CHM ∽△AOC (点C 与点A 对应),求点M 的坐标; ②若⊙M 的半径为,求点M 的坐标.题型五:构造梯形【例6】已知,矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A 的坐标为(4,0),点C的坐标为)20(-,,直线x y 32-=与边BC 相交于点D . (1)求点D 的坐标;(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ,求此抛物线的表达式;(3)在这个抛物线上是否存在点M ,使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【变式练习】1.已知平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4,8).(1)求此抛物线和直线的解析式;(2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值;(3)记(1)中抛物线的顶点为M,点N在此抛物线上,若四边形AOMN恰好是梯形,求点N 的坐标及梯形AOMN的面积.2.(2011义乌)已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;(2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t 秒,求S 关于t 的函数关系式.3.如图1,二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-1),△ABC 的面积为45. (1)求该二次函数的关系式;(2)过y 轴上的一点M (0,m )作y 轴的垂线,若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点,求m 的取值范围;(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ,使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.题型六:构造平行四边形【例7】(2010陕西)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A (—1,0),B (3,0),C (0,—1)三点。

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