第一章行列式主要内容§1逆序数与对换§2 行列式的定义§3 行列式的性质§4 行列式按行（列）展开§5 克拉默法则二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩由消元法，得211211221122211)(a b b a x a a a a −=−212221*********)(b a a b x a a a a −=−当时，该方程组有唯一解021122211≠−a a a a 211222112122211a a a a b a a b x −−=211222112112112a a a a a b b a x −−=求解公式为11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩请观察，此公式有何特点？①分母相同，由方程组的四个系数确定.②分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩1112112212212122a a D a a a a a a ==−11122122a a a a 记为11122122a a a a 数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即11221221a a a a −其中，称为元素.(1,2;1,2)ij a i j ==i 为行标，表明元素位于第i 行；j 为列标，表明元素位于第j 列.原则：横行竖列二阶行列式的计算11122122a a a a 11221221a a a a =−主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩若令11122122a a D a a =1211222b b a D a =1221121b a D a b =(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122*********D D b a a b x a a a a =−=−1121212211221221a b b a D x a a a a D−==−例1求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=−1212232121x x x x解因为1223−=D 07)4(3≠=−−=14)2(12112121=−−=−=D 21243121232−=−==D 所以11142,7D x D===222137D x D−===−求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=−1212232121x x x x 例1二、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表引进记号称为三阶行列式.111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−111213212223313233a a a a a a a a a三阶行列式的计算——对角线法则111213212223313233a a a D a a a a a a =132132a a a +112233a a a =122331a a a +132231a a a −122133a a a −112332a a a −实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.12-4-221-34-2D =例2计算行列式解按对角线法则，有=D 4)2()4()3(12)2(21×−×−+−××+−××)3(2)4()2()2(2411−××−−−×−×−××−24843264−−−+−−=.14−=例2计算行列式12-4-221-34-2D =2111230.49x x=例3求解方程方程左端解由得2111230.49x x=例3求解方程1229184322−−−++=x x x x D ,652+−=x x 2560x x −+=3.2==x x 或全排列及其逆序数用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？引例解1 2 3123百位十位1231个位123种放法.共有6123=××3种放法2种放法1种放法问题把n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用P n 表示.(1)(2)321!n P n n n n =⋅−⋅−⋅⋅=L 即n 个不同的元素一共有n !种不同的排法.对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如在排列32514中，3 2 5 1 4逆序逆序逆序答：2和1，3和1也构成逆序.思考题：还能找到其它逆序吗？定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的逆序数通常记为.12ni i i L 12()n i i i τL 奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题: 符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为12nt t t τ=+++L 设是1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序.先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;12n p p p L 1p 1p 1t 2p 2p 2t n p n p n t例求排列32514 的逆序数.解(32514)010315τ=++++=9τ=求排列453162 的逆序数.例求排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 的逆序数.例n 阶行列式的定义一、概念的引入111213212223313233a a a D a a a a a a ==112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.123123p p p a a a 123p p p 123p p p 123p p p所以，三阶行列式可以写成123123123()123(1)p p p p p p p p p a a a τ=−∑其中表示对1、2、3的所有排列求和.123p p p ∑二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.111213212223313233a a a D a a a a a a ==112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−二、n 阶行列式的定义1.n 阶行列式共有n ! 项．2.每一项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1, 2, …, n 的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.1212np p np a a a L 1n p p L 12n p p p L 12n p p p L 1212121112121222()1212(1)n nnn n p p p p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a τ==−∑L L L L L M MML 简记作，其中为行列式D 的(i , j )元det()ij a ij a思考题：成立吗？11−=−注意：当n = 1时，一阶行列式|a | = a ，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式.11−=−例写出四阶行列式中含有因子的项.2311a a 解11233244a a a a −11233442.a a a a 和1112131422232433334440000a a a a a a a D a a a =例计算行列式142323241000000000000a a D a a =1122133440000000000a a D a a =112122432323341424344000000a a a D a a a a a a a =112213344000000000000a a D a a =1423232410000000000a a D a a =11223344a a a a=(4321)14233341(1)a a a a τ=−14233341a a a a =(4321)0123τ=+++346.2×==其中111213142223243333444000000a a a a a a a D a a a =112122432323341424344000000a a a D a a a a a a a =11223344a a a a =14233341a a a a =12,11nn n a a D a −=N1122nna a D a =O结论：(1) 对角行列式nna a a L 2211=(1)212,11(1)n n n n n a a a −−=−Lnnn n a a a a a a D L M OM M L L 21222111000=nnnn a a a a a a D L M O M M L L 00022211211=(2) 上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）nna a a L 2211=(3) 下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）nna a a L 2211=例用定义计算行列式113023********10−−−−=D例用定义计算行列式解用树图分析−1133123−1−2−2−112134=）（τ22143=）（τ32413=）（τ42431=）（τ491223−=+−+−=D故11323211121−−−−=D已知，求的系数.()1211123111211xx x xx f −=3x 例用定义计算行列式故的系数为－1.解含的项有两项，即3x ()1211123111211xx x xx f −=对应于()124311223443(1)a a a a τ+−(1234)11223344(1)a a a a τ−(1234)311223344(1),a a a a x τ−=()1243311223443(1)2a a a a xτ−=−3x。