第一章 概率论的基本概念习题1—1 随机事件1.设C B A ,,表示三个事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来： （1）C A ,都发生，B 不发生； 【 ,ABC AC B - 】 （2）三个事件中至少有一个发生; 【 A B C 】（3）三个事件中至少有两个. 【 ,AB ACBC ABC ABC ABC ABC +++ 】2．设某人对一目标接连进行三次射击，设{i A =第i 次命中}123i =（，，）；{j B =射击恰好命中j 次}0123j =（，，，）；{}0123k C k k ==三次射击至少命中次（，，，）. （1）通过321,,A A A 表示2B ; 【 2123123123B A A A A A A A A A = 】（2）通过123,,B B B 表示2C . 【 223C B B = 】3. 设,,A B C 为三个事件，指出下列各等式成立的条件. （1）A C B A =； 【 A BC ⊂ 】 （2）A B C A =； 【 B C A ⊂ 】（3）A B AB =； 【 A B = 】（4）()A B A B -=。

【 AB φ= 】习题1—2 概 率1．设111()()(),()()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======求下列事件的概率： （1）()P A B C ； （2）．)(C B A P 解 （1）3317()()()()()()()()481616P AB C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=-+= (2）()9()1()16P ABC P A B C P A B C ==-=.2．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，求至少有2只配成一双的概率.解 12112542254101321C C C C C p C +==， 或 411115222241013121C C C C C p C =-= ．3．从[0,1]中随机地取两个数，求下列事件的概率：（1）两数之和小于54；（2）两数之积大于14； （3）以上两个条件均满足.解 （1）设A ：两数之和小于54， 则有133123244()132P A -⨯⨯==． （2）设B ：两数之积大于14，则有1141(1)314()ln 2142dxxP B -==-⎰．（3）11451()3113315144()ln 2ln 2142244322x dxxP AB --==--⨯⨯=-⎰．4．旅行社100人中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和 日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，在其中任意挑选一人，求此人会讲英语和日语， 但不会讲法语的概率．解 设A ：会讲英语，B ：会讲日语，C ：会讲法语．则有：()P ABC =329()()0.23100100P AB P ABC -=-=．习题1-3 条件概率1．根据对电路停电情况的研究，得到电路停电原因的一下经验数据：5%是由于变电器损坏；80%是由于电路线损坏；1%是由于两者同时损坏. 试求下列各种停电事件发生的概率。

（1）在已知变电器损坏的条件下，电路线损坏；（2）变电器损坏但电路线完好；（3）在已知电路线没损坏的条件下，变电器损坏. 解 A ：变电器损坏，,B ：电路线损坏，则()0.05,()0.8,()0.01P A P B P AB ===（1）()0.01()0.05,()0.8,()0.2()0.05P AB P B A P B P AB P A =====；（2）()()()0.050.010.04P AB P A P AB =-=-= （3）()()()0.050.01()0.21()10.8()P AB P A P AB P A B P B P B --====--.2．一批灯泡共100只，次品率为10%，不放回的抽取3次，每次取一只，问第3次才取到合格品的概率是多少？解 记i A ：第i 次取到合格品，(1,2,3)i = 所求概率即为：123121312109909()()(|)(|)10099981078P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯=．3．玻璃杯成箱的出售，每箱20只，假设各箱含0个，1个，2个次品的概率相应的为0.8,0.1,0.1，一顾客欲买一箱玻璃杯，售货员随意地抽取一箱，顾客开箱后随意地查看4只，若无次品则买下这箱玻璃杯，否则退回，试求：（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）若一个顾客买下了一箱玻璃杯，在顾客买下的这箱玻璃杯中确实无次品的概率。

解 （1）记A ：顾客买下该箱玻璃杯， k B ：该箱含有k 只次品，0,1,2k =．则有44219184402020412448()()(|)0.810.10.10.80.10.10.94519475k k k C C P A P B P A B C C ===⨯+⨯+⨯=+⨯+⨯==∑（2）0000()()(|)0.895(|)0.85()()0.94112P AB P B P A B P B A P A P A =====．习题1—4 独立性1．设,A B 为两个事件，且()0.8,()0.6,()0.32P A P B P A B ==-=，问A 与B 是否相互独立，为什么？ 解 因为 ()()()()()0.80.320.48()()()P A B P A P AB P A P P AB A B P A P B -=-⇒--=-=== , 所以 A 与B 独立．2．某举重运动员在一次试举中能举起某一重量的概率为p ，如果他最多只能试举3次，且前面的试举情况对后面没有影响，求他能举起这个重量的概率。

解 记A ：能举起这个重量， k B ：他第k 次能举起某一重量（k=1,2,3），则()k P B p = （=1,2,3k ） 则有2112123112123()()()()()(1)(1)P A P B B B B B B P B P B B P B B B p p p p p ==++=+-+-3233p p p =-+．3．一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格的概率为1(1,2,3)1i p i i ==+，求：（1）他制造`的三个零件中前两个为合格品，而第三个不是合格品的概率，（2）三个零件中至少有一个是合格品的概率。

解 记k A ：第k 零件为合格品（k=1,2,3），则123111(),(),()234P A P A P A ===， （1）所求即为：1231231111()()()()(1)(1)23412P A A A P A P A P A ==-⨯-⨯=；（2）所求即为：12312311123()1()123424P A A A P A A A =-=-⨯⨯=．第二章 随机变量及其分布习题2—1 随机变量及其分布函数1． 已知随机变量X 的分布函数为22,0,()0,0.x a be x F x x -⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩求系数,a b 的值.解 由lim ()1x F x →+∞=及0lim ()(0)x F x F +→=（处处右连续）得1,1a b ==-2． 下列函数中可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ）(A) 21(),1F x x x =-∞<<+∞+ (B)11()arctan ,2F x x x π=+-∞<<+∞ (C) 1(1),0,()20,0.xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩(D)()(),xf x f t dt -∞=⎰其中()1f x dx +∞-∞=⎰解 因为{}{}{}()lim ()lim 1x x F F x P X x P X P →+∞→+∞+∞==≤=<+∞=Ω=否（A ）（C ），而（D ）中未有0)(≥x f 的条件.正确选项（B ）习题2—2 离散型随机变量及其分布1．已知袋中编号分别为1，2，3，4，5的五只球，现从中任意抽取三只，以X 表示取出的三只球中最小编号，求X 的分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.解 1214356(1)10C C P X C ===, 1213353(2)10C C P X C ===, 1212351(3)10C C P X C ===则X 的分布律为故X 的分布函数为 0,1,0.6,12,(){}0.9,23,1,3.<⎧⎪≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩x x F x P X x x x 图形略.2．已知实验室有同类设备4台，每台设备一年里需要维修的概率为0.25，求一年里（1）需要维修的设备台数X 的分布律；（2）没有设备需要维修的概率；（3）至少有两台设备需要维修的概率. 解 （1）(4,0.25)XB ，其分布律为4413(),0,1,2,3,444k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）04041381(0)0.31644256P X C ⎛⎫⎛⎫===≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）1314811367(2)1(2)1(0)(1)10.26225644256P X P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫≥=-<=-=-==--=≈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3．一批产品共有10件，其中7件正品，3件次品，每次随机地抽取一件产品，分别在下列情况下，求直到取出正品为止所需抽取的次数X 的分布律。

（1）采取无放回抽样；（2）采取有放回抽样. 解 （1）无放回抽样时 设k A ：第次取到正品，1,2,3,4k =，则有17(1)()10P X P A ===； 12121377(2)()()()10930P X P A A P A P A A ====⋅=； 1231213123277(3)()()()()1098120P X P A A A P A P A A P A A A ====⋅⋅=；123412131241233211(4)()()()()()11098120P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====⋅⋅⋅=；(2) 有放回抽样时 {}X k =表示前1k -次取到的均为次品，而第k 次取到的才是正品. 故11121213337()()(73{}()1010)()()1,2,10101010k k k k k P A A A A P A P A P A P A k P X k ---===⋅⋅⋅===习题2—3 连续型随机变量及其分布1. 设随机变量X 的概率密度为3,01,()0,.cx x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他求（1）常数c . （2）X 的分布函数()F x ； (3) 1{1}2P X -≤≤解 （1）由130()11144cc f x x dx dx c +∞-∞=⇒=⇒=⇒=⎰⎰（2）3400000()4,01,01,1111x x x F x x dx x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪=≤<=≤<⎨⎨⎪⎪≥⎩≥⎪⎩⎰（3） 41111{1}()(1)()22216P X F F +-≤≤=--==， 或 12113201{1}(14)621P X f x d x x x d --=≤≤==⎰⎰2. 设连续型随机变量X 的分布函数为1()ln ,11x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求（1）X 的概率密度()f x . （2）{2},{03}P X P X <<≤解 （1）X 的概率密度1,1()()0x ef x F x x ⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他（2）{2}(2)=ln2;{03}(3)(0)1P X F P X F F <=<≤=-=3． 设某年级学生的数学考试成绩（百分制）服从正态分布2~(,)X N μσ，平均成绩为72分. (1) 若10σ=，且规定90分以上为“优秀”，则“优秀”考生占总学生数的百分之几？(2) 若σ未知，但已知96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率. 解 （1）设X 为考生的数学成绩，由题意2~(72,10)X N ，所以 972{90}1()1(1.8)0.0359 3.610P X ->=-Φ=-Φ==%，即“优秀”考生占总学生数的百分之3.6. （2）依题意有2~(,)X N μσ，且72.μ= 但2σ未知. 故967224{96}1{96}1()1()0.023P X P X σσ->=-≤=-Φ=-Φ=，24()10.0230.977.σΦ=-=查表得242.012.σσ≈⇒= 即2~(72,12).X N 则72{6084}{1}2(1)10.68261.2X P X P -≤≤=≤=Φ-=4． 设随机变量X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他,，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，求{2}P Y =.解 由于12011{}224p P X xdx =≤==⎰，故1~(3,).4Y B 于是223139{2}()().4464P Y C ===习题2—4（随机变量函数的分布）1.设离散型随机变量X 的分布律为：试求：（1）确定常数a ； （2）22Y X =+的分布律。