复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00z f z f z z =→ 第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂= 1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zz e e =)'(（3）以i π2为周期3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。

4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。

6、一般幂函数：])arg 2([ln i z k z s sLnz s e e z ++==π （k =0、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1) 调和函数:0),(2=∇y x u2) 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程c ）不定积分法第三章 解析函数的积分一、复变函数的积分 ()⎰⎰⎰++-=ll l udy vdx i vdy udx f dz z 存在的条件。

二、复变函数积分的计算方法1、沿路径积分：()⎰cdz z f 利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。

2、闭路积分： a) ()⎰cdz z f 利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。

b) dz y x iv y x u c )],(),([+⎰利用参数积分方法 三、柯西积分定理：()0=⎰cdz z f 推论1：积分与路径无关()dz z f dz z f z z c ⎰⎰=21)(推论2：利用原函数计算积分)()()(1221z F z F dz z f z z -=⎰推论3：二连通区域上的柯西定理()()⎰⎰=21c c dz z f dz z f 推论4：复连通区域上的柯西定理()()⎰∑⎰==k c nk c dz z f dz z f 1四、柯西积分公式： ()ξξξπd z f i z f c ⎰-=21)( ()()002c f z dz if z z z π=-⎰五、高阶导数公式：()ξξξπd z f i n z f c n n ⎰+-=1)()(2!)( 解析函数的两个重要性质：● 解析函数()z f 在任一点z 的值可以通过函数沿包围点z 的任一简单闭合回路的积分表示。

● 解析函数有任意阶导数。

本章重点：掌握复变函数积分的计算方法沿路径积分()⎰c dz z f 1）利用参数法积分 2）利用原函数计算积分。

闭路积分()⎰c dz z f 利用留数定理计算积分。

第四章 解析函数的级数一、幂级数及收敛半径： ∑∞=-0)(n n nb z a1、一个收敛半径为R （≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数)(z f 是解析函数，在这个收敛圆内，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：()()∑∞=-=1'n nn b z na z f R b z <- ()()10001+∞=∞=∑⎰∑⎰+=-=n n z l n n nn zz n a dz b z a dz z f R b z <- 2、收敛半径的计算方法1） 比值法：1/lim +∞→=n n n a a R 2） 根值法：n n n a R ∞→=lim /1 二、泰勒（Taylor ）级数1、如函数)(z f 在圆域R b z <-内解析，那么在此圆域内)(z f 可以展开成Taylor 级数)(z f ()()n n n n nn b z n b f b z a -=-=∑∑∞=∞=00!)( 1）展开式是唯一的。

故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor 级数。

2 ) 收敛半径是展开点到)(z f 的所有奇点的最短距离。

3）展开式的系数可以微分计算： ()!n b f a n n = 4）解析函数可以用Taylor 级数表示。

2、记住一些重要的泰勒级数：1）∑∞==-011n n z z 2）∑∞==0!n n z n z e 3）()∑∞=++-=0)12()!12(1sin n n n zn z 4）()∑∞=-=02)!2(1cos n n n z n z三、罗兰（Laurent ）级数如果函数)(z f 在圆环城21R b z R <-<内解析，则)(z f =∑∞-=-x n n n b z c )( ()()dz b z z f i c l n n ⎰+-=121π （n =0、±1、±2……）1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为Laurent 级数。

2、展开式的系数是不可以利用积分计算。

利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成Laurent 级数。

3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。

四、孤立奇点1、定义：若b 是)(z f 的孤立奇点，则)(z f 在δ<-<b z 0内解析。

在此点)(z f 可展开为罗兰级数，)(z f =()()()∑∑∑-∞=∞=∞-∞=-+-=-10n n n n n n n n n b z c b z c b z c2、分类：孤立奇点⎪⎩⎪⎨⎧==-1]),([Re ,::0]),([Re ,:c b z f s b z f s 无穷多负幂项本性奇点有限负幂项极点无负幂项可去奇点把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C-13、极点留数计算a) 如果b 是)(z f 的一阶极点，则)()(lim ]),([Re z f b z b z f s bz -=→ b) 如果b 是)(z f 的m 阶极点，则()()()][lim !11]),([Re 11z f b z dzd m b z f s m m m b z --=--→ c) 如b 是()()()z Q z P z f =的一阶极点，且P(b)≠0，那么 ()()()()b Q b P b z Q z P s ',Re =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d) ]0,1)1([Re ]),([Re 2z z f s z f s -=∞ e) 若∞=z 是)(z f 的可去奇点，并且0)(lim =∞→z f z ，()z zf C z f s z ∞→--=-=∞lim ]),([Re 1 关系：全平面留数之和为零。

()[]()[]0,Re ,Re 1=∞+∑∑∞=z f s b z f s k k本章重点：函数展开成Taylor 级数，并能写出收敛半径。

函数在解析圆环城内展开成Laurent 级数。

孤立奇点（包含∞=z 点）的判定及其留数的计算。

第五章 留数定理的应用一、()θθθπd R ⎰20cos ,sin条件：（1）R(sin θ，cos θ) 为cos θ与sin θ 的有理函数（2）R (• ) 在[0，2π] 或者 [-π ，π] 上连续。

令θi e z =，则i z z 2sin 1--=θ，2cos 1-+=z z θ，iz dz d =θ。

()()dz z f iz dz z z iz z R d R z z ⎰⎰⎰===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=12212021,21cos ,sin θθθπ()[]∑==n k kz z f s i 1,Re 2π 1<k z注意留数是计算单位圆中的奇点。

二、()⎰∞∞-dx x f条件： （1） ()()()x Q x P x f = ()()x Q x P ,是x 的多项式。

（2） ()0≠x Q（3） 分母阶次比分子阶次至少高二次则 ()()[]∑⎰=∞∞-=n R k b z f s i dx x f 1,Re 2π k b 是)(z f 在上半平面的奇点。

三、()dx e x R x i α⎰∞∞- （0>α）条件：（1）()()()x Q x P x R =，且()x Q 比()x P 至少高一阶，（2）()0≠x Q ，（3）0>α()()[]∑⎰=∞∞-==n k k z i xi b e z R s i dx e x R I 1,Re 2ααπ 0Im >k b ()⎰∞∞-=I xdx x R Re cos α，()⎰∞∞-=I xdx x R Im sin α重点关注第一和第三种类型第七章 Fourier 变换一、傅立叶变换()()dt e x f F t j ωω-∞∞-⎰=()()ωωπωd e F x f t j ⎰∞∞-=21二、δ函数的傅立叶变换 ℱ()[]()1==-∞∞-⎰dx e x x x j ωδδ. ()x d e x j δωπω=⎰∞∞-21三、一些傅立叶变换及逆变换 ℱ()ωπδω+=i x H 1)]([ ℱ21)(]1[1-=-x H i ω 四、性质：ℱ()[]()ωF x f =1、 相似性质ℱ()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛=a F a ax f ω1 2、 ℱ()[]()ωωF ex x f x j 00±=± 延迟性质 ℱ ()[]()00ωωω±=F x f e x j 位移性质 3、微分性质ℱ ()[])('ωωF j x f = ℱ [])(')(ωF x jxf =-ℱ ()()[])()(ωωF j x f n n = ℱ ()[]n n n d F d x f x j ωω)()(=- 4、积分性质ℱ ())(10ωωF j dx x f x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ 由Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用Fourier 变换求解微积分方程。