等差数列的性质以及常见题型上课时间： 上课教师： 上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质 上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法 一 等差数列的定义及应用1.已知数列{}n a 的通项公式为23+-=n a n ，试问该数列是否为等差数列。

2.已知：zy x 1,1,1成等差数列，求证：zyx y x z x z y +++,,也成等差数列。

思考题型;已知数列{}n a 的通项公式为qn pn a n +=2（,,R q p ∈且p,q 为常数）。

（1)当p 和q 满足什么条件时，数列{}n a 是等差数列（2)求证：对于任意实数p 和q ，数列{}n n a a -+1是等差数列。

二 等差数列的性质考察（一）熟用d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=，mn a a d mn --=问题 （注意：知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式） 1、等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则=9a . 2、等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .3、已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .4、一个等差数列中15a = 33，25a = 66，则35a =________________．5、已知等差数列{}n a 中，q a p =，p a q =，则____=+q p a ． （二)公差d 的巧用 （注意：等差数列的项数）1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____2、等差数列123,,,,n a a a a 的公差为d ，则数列1235,5,5,,5n a a a a 是（）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为5d 的等差数列C ．非等差数列D ．以上都不对 3、等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且139960a a a +++=，则12100a a a +++=A ．170B ．150C ．145D ．1204.已知y x ≠，且两个数列y a a a x m ,,,,21⋅⋅⋅与y b b b x n ,,,,21⋅⋅⋅各自都成等差数列，则1212b b a a --等于 （ ） A n m B 11++n m C m n D 11++m n 5.一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d 为（ ）A -2B -3C -4D -5（三）t s n m a a a a t s n m +=+⇔+=+性质的应用 （注意：角标的数字）1. 等差数列{}n a 中，若45076543=++++a a a a a ，则_____82=+a a 。

2.等差数列{}n a 中，若4507654=+++a a a a ，则_____10=S 。

3.等差数列{}n a 中，若2013=S 。

则_______7=a 。

4.等差数列{}n a 中，若1011=a ，则_______21=S 。

5.在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+=_______。

6.等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则_____20=S 。

7.在等差数列{}n a 中，4512a a +=，那么它的前8项和8S 等于_______。

8.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=_______。

9.在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 等于_______。

10.等差数列{}n a 中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则_______7=a .11.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =n 2+3n +1，则a 1+a 3+a 5+…+a 21=_______。

12.｛a n ｝为等差数列，a 1+ a 2+ a 3=15，a n + a n -1+ a n -2=78，S n =155，则n = _______。

（四）方程思想的运用（注意：联立方程解方程的思想）1.已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=24，求数列{a n }的前n 项和n S2. 已知等差数列{a n }中，1673-=a a ,064=+a a ,求数列{a n }的前n 项和n S（五)n n n n n S S S S S 232,,--也成等差数列的应用1、等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和_______。

2、等差数列{a n }的前n 项的和为40，前2n 项的和为120，求它的前3n 项的和为_______。

3.已知等差数列{a n }中，,12,493==S S 求15S 的值.4.已知等差数列{a n }中，,4,2654321=++=++a a a a a a 则181716a a a ++的值，a 2 ， a 3，…… a 2n +1 为 等差数列，奇数项和为60，偶数项的和为45，求该数列的项数.6.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______。

7.在等差数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是_______。

(六）1212-=-n S a n n 的运用 1.设n S 和n T 分别为两个等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则1111b a = ________ 。

2.设n S 和n T 分别为两个等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有n n T s =3413-+n n ，则77b a= ________ 。

3.有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，若对n +∈N 有7223n n S n T n +=+成立，求55a b =（ ）。

（七）n a 与n S 的关系问题;1.数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n ++＝，则n a ＝___________3.数列{}n a 的前n 项和22n S n n -＝，则n a ＝___________4.数列{}n a 的前n 项和24n S n n +＝3，则n a ＝___________5.数列{}n a 的前n 项和1n n S -＝2，则n a ＝___________6.数列}24{-n 的前n 项和n S ＝______.7. 数列}84{+-n 的前n 项和n S ＝______.8. 数列}{n a 的前n 项和2n S ＝8n -10.则______=n a （八）巧设问题；一般情况,三个数成等差数列可设:d a a d a +-,,;四个数成等差数列可设:d a d a d a d a 3,,,3++--.1.三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数.2.三个数成等差数列,和为18,平方和为126,求这三个数.3.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.4.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.5.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差(九）．最值问题:；1.在等差数列}{n a 中,6,801-==d a ,求n S 的最大值.2.在等差数列}{n a 中,5,801-==d a ,求n S 的最大值.3.在等差数列}{n a 中,6,801=-=d a ,求n S 的最小值.4.在等差数列}{n a 中,5,801=-=d a ,求n S 的最小值.5.等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大6.在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值7.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.8.在等差数列{a n }中，若93a a =，公差d ＜0，那么使其前n 项和S n 为最大值的自然数n 的值是__.（十)累加法的应用-------裂项相消1.已知数列{a n }满足:1,1211=+=--a n a a n n ,求n a .2.已知数列{a n }满足:1,1411=-=-+a n a a n n ,求n a .3.已知数列{a n }满足:4,1211=+-=-+a n a a n n ,求20a .4.在数列{a n }中，)11ln(,211na a a n n ++==+,求a n .(十一）由n a 求n a 的前n 项和1.数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210||||||a a a +++=_______.2.数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，n nb a =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.3.数列{}n a 中，148,2a a ==，满足*2120,n n n a a a n N ++-+=∈． （1）求通项n a ；（2）设12n n S a a a =+++，求n S ；（3）设()**121,,,12n n n n b n N T b b b n N n a =∈=+++∈-，是否存在最大的整数m ，使得对于任意*n N ∈，均有32n mT >成立，若有求之，若无说明理由．（十二)由n S 得n a 的题型、 直接法1.已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，321=a ，且满足211322++=+n n n a S S )(*N n ∈。

（1）求数列}{n a 通项公式n a ； （2）求证：当2≥n 时，2222234111194n a a a a ++++<。

倒数法1.已知数列{}n a 中，a n ≠０，a 1＝21，a 1+n ＝nna a 21+（n ∈N +），求a n2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)2(02,2111≥=+=-n S S a a n n n（I ）判断⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是否为等差数列并证明你的结论；（II ） 求n S 和n a ；（III ）求证：nS S S n412122221-≤+++ 。