例说导数含参问题的处理策略详解(完美终结篇) 张成 壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰一、 和单调性有关的含参问题1. 求单调区间：本质是解含参不等式例1：求2()()x a f x x-= 的单调区间【解】2()()()x a a x f x x -+'=12x ax a ==-当0a =时，()10f x '=>，故只有增区间：(,0),(0,)-∞+∞不能并哦 当0a >时，由2()()()0x a x x f a x-+'=>即()(x a)0x a -+>得,x a x a <->， 由()(x a)0x a -+<得a x a -<<当0a <时，由()0f x '>得,x a x a <>- 由()0f x '<得a x a <<- 综上所述：当0a =时函数增区间为(,0),(0,)-∞+∞当0a >时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 当0a <时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a -例2：求函数f (x )＝x 2e ax 的单调区间．【解】 函数f (x )的导数f ′(x )＝2x e ax ＋ax 2e ax ＝(2x ＋ax 2)e ax . 1220x x a==-(1)当a ＝0时，由f ′(x )＜0得 x ＜0；由f ′(x )＞0，得x ＞0所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． 当a ≠0时，1220x x a==-(2)当a ＞0时，由2x ＋ax 2＞0，得x ＜－2a 或x ＞0；由2x ＋ax 2＜0，得－2a ＜x ＜0.所以当a ＞0时，函数f (x )在(－∞，－2a )和(0，＋∞)上为增函数，在区间(－2a ，0)上为减函数． (3)当a ＜0时，由2x ＋ax 2＞0，得0＜x ＜－2a ；由2x ＋ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－2a ，所以当a ＜0时，函数f (x )在区间(－∞，0)和(－2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，－2a )上为增函数 总结：两个根大小不定时要讨论2. 逆向问题：已知函数在某区间上单调性，求参数取值范围（1） 解析式含参时：本质是恒成立问题: ()0f x '≥（()0f x '≤）恒成立思路1：转化为求非含参一段函数的最值（范围）思路2：数形结合 注意事项：端点能否取等号要注意例：已知2()()x a f x x-=在（1，2）上单调递增，求a 取值范围【解】2()()()0x a x x f a x-+'=≥对(1,2)x ∀∈恒成立，即22x a ≥对(1,2)x ∀∈恒成立， 而214x <<因此21a ≤ 11a -≤≤（2） 区间含参时：例1：已知24()1xf x x =+在（m ，2m+1）上单调递增，求m 取值范围【解】易求24()1x f x x =+的增区间为[-1,1],由题意得(,21)[1,1]m m +⊆-，因此121121m m m m≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩解之得10m -<≤例2：已知函数32()3f x x x =+若()y f x =在区间[21,1]m m -+上是增函数，求实数m 的取值范围； 【解】 2()363(2)f x x x x x '=+=+，令()0f x '>即(2)002x x x x +>∴><-或()f x ∴的增区间为(,2][0,).-∞-+∞和()f x 在区间[21,1]m m -+上是增函数，∴ [21,1](,2][21,1][0,)m m m m -+⊆-∞--+⊆+∞或； ∴ 12210211211m m m m m m +≤--≥⎧⎧⎨⎨-<+-<+⎩⎩或∴ 32m m ≤-≤<1或2二、 和最（极）大、最（极）小值有关的含参问题1. 函数解析式含参，区间不含参例1：已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．求函数f (x )的极值．【解】由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，（x ＞0）知：x a = 其与(0,)+∞关系不定，因此要讨论 ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值例2：已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋2.（a >0），当x ∈[－1,1]时，求f (x )的最小值．【解】 f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a 由于x ＝1a 与[－1,1]关系不定，因此要讨论。

分以下两种情况讨论：①若1a >1即0<a <1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－1,0) 0 (0,1) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值↘f (－1)＝－a －32＋2，f (1)＝a －32＋2，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .②若0<1a <1即a >1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－1,0) 0 (0，1a ) 1a (1a ，1) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗f (－1)＝12－a ，f (1a )＝2－12a 2.而f (1a )－f (－1)＝2－12a 2－(12－a )＝32＋a －12a 2>0，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .例3：已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2(x －a )．求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值．【思路探究】 解答本题先求出函数的导数，画出图表，求出函数的极值，再结合函数的单调性、函数的定义域、函数取极值点对字母a 进行分类讨论求解．【解】设此最小值为m ，而f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x (x －23a )，x ∈[1,2]，12203a x x ==当a ≤0时，f ′(x )>0，x ∈[1，2]，则f (x )是区间[1，2]上的增函数，（此情况最易忽视）所以m ＝f (1)＝1－a ；当a >0时，在x <0或x >2a 3时，f ′(x )>0，从而f (x )在区间[23a ，＋∞)上是增函数； 在0<x <2a 3时，f ′(x )<0，从而f (x )在区间[0，23a ]上是减函数； ①当23a ≥2，即a ≥3时，m ＝f (2)＝8－4a ；②当1≤23a <2，即32≤a <3时，m ＝f (2a 3)＝－4a 327；③当0<23a <1，即0<a <32时，m ＝f (1)＝1－a .综上所述，所求函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a (a <32)，－4a327 (32≤a <3)，8－4a (a ≥3).例4：已知函数h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1(a>0)求函数h(x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．【解】h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a >0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下： x (－∞，－a2)－a2 (－a 2，－a 6) －a6 (－a6，＋∞) h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ h (x )↗↘↗函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－a 2)和(－a 6，＋∞)单调递减区间为(－a 2，－a6)．当－a2≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2<－1，且－a 6≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间(－∞，－a2)上单调递增，在区间(－a 2，－1]上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－a2)＝1.当－a 6<－1，即a >6时，函数h (x )在区间(－∞，－a 2)上单调递增，在区间(－a 2，－a6)上单调递减，在区间(－a 6，－1]上单调递增，又因为h (－a 2)－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－a2)＝例5：已知函数2221()(0)1ax a f x a x -+=≠+，求函数()f x 的单调区间和极值【解】22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+ 由于0,a ≠以下分两种情况讨论.(1)当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 1a -1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭a(),a +∞'()f x - 0 + 0 - ()f x极小值极大值所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2)当0a <时，令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x (),a -∞a1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1a-1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭'()f x +0 -0 +()f x极小值极大值所以()f x 在区间(),a -∞1,,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为增函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 2. 已知解析式不含参，区间含参例1：设函数)0(333)(23>---=a a x x x x f 。