【详解】对于A，若 ，则“当 时，存在唯一的实数λ，使得 ”不成立，故A错误；
对于B，由题意得 ，若 与 的夹角为锐角，则 代入数据解得 ，故B错误；
对于C，由“复数 是虚数”得 ，因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件.故C正确；
对于D，当 时满足 ，此时不满足 .故D错误.
当点 为线段 的中点时， 与点 重合，此时 ，故 ，同理可得 .
由 ，
又 、 、 三点共线， ，即 ，
延长 交 于点 ，则 为 的中点，且有 ，
又
，
当且仅当 ， 时取得最小值.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
9.下列说法中错误 是（）
A.若向量 满足 ，则存在唯一的实数λ，使得
B.已知非零向 ，且 与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
C.“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件
D.若复数 ，满足 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A举出反例即可；对于B根据向量夹角为锐角时坐标运算公式计算即可；对于C化简复数 根据逻辑命题知识判断即可；对于D举出反例即可.
【详解】解： ，
∴ ，
，
又 ，则 ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
15.若满足 的 恰有一个，则实数 的取值范围是_________ .
【答案】 或
【解析】
【分析】根据正弦定理分析解的个数问题.
【详解】由正弦定理 ， ，
当 ，即 时， ，只有一解，
当 时， ，若 ，则 ， 可为锐角也可为钝角，有两解，
【详解】对于A选项，若 ，则 ，由正弦定理可得 ，所以， ，A选项正确；
对于B选项， ，则 ，如图： 所以 有两解，B选项正确；
对于C选项，若 为钝角三角形且 为钝角，则 ，可得 ，C选项错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，D选项正确．
故选：ABD
11.如图，棱长为2的正方体 中， 在线段 (含端点)上运动，则下列判断正确的是（）
18.如图，在菱形ABCD中， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 ．
（3）若菱形ABCD的边长为6，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）由向量线性运算即可求得 值；
（2）先化 ，再结合（1）中关系即可求解 ；
（3）由于 ， ，即可得 ，根据余弦值范围即可求得结果．
19.在① ，② 这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.
故选:ABD
10. 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则下列说法正确的是（）
A.若 ，则
B 若 ， ， ，则 有两解
C.若 为钝角三角形，则
D.若 ， ，则 面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项，由 ，得到 ，再利用正弦定理判断；对于B选项，由 判断；对于C选项，由 为钝角三角形且 为钝角，利用余弦定理判断； 对于D选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.
7.半径为R的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的四面体棱长为 ，该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体外接球半径，即可得结论．
【详解】解：（1）因为 ， ，
所以 ，所以 ， ，
故 ．
（2）∵ ，∴
∵ABCD为菱形∴
∴ ，即 ．
（3）因为 ，
所以
∴ 的取值范围： ．
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【详解】因为 是关于x的方程 的根，则另一根为
由韦达定理得 ，所以
故选：B
2.已知 是不共线的向量， ，若A，B，C三点共线，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三点共线，可得 ，所以 ，对应系数相等即可求解.
【详解】因为A，B，C三点共线，所以 ，设存在 ，使得 ，
即 ，则 ，故 .
【答案】
【解析】
【分析】先分析出 ，再分别求各个面的面积即可.
【详解】
因为三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，
所以 , ,
所以 .
所以三棱锥 表面积
.
故答案为： .
14.设复数 满足： ，其中i是虚数单位，a是负实数，求 ________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的摸的性质及复数的运算性质，进行运算即可求出答案.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角 的值，由 可得出 ，结合 可求得 、 的值，再利用余弦定理可求得 的值.
【详解】 ，由正弦定理可得 ，可得 ，
由余弦定理可得： ， ，所以 ，
由 ，有 ，得 ，
所以 ， ， ， ，
由余弦定理可得 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
对于C选项，在正方体 中， 且 ，∴四边形 平行四边形，
，Hale Waihona Puke 平面 ， 平面 ， 平面 ，同理可证 平面 ，
， 平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，C选项正确；
对于D选项，易知 ，所以， 是等边三角形， ，
在正方体 中， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形， ，所以， 与 所成角等于 ，
当 在线段 （含端点）上运动时， ，D选项正确．
A. B. 三棱锥 的体积不变，为
C. 平面 D. 与 所成角的范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】证明出 平面 ，可判断A选项的正误；证明出 平面 ，利用锥体的体积公式可判断B选项的正误；证明出 平面 ，利用面面平行的性质定理可判断C选项的正误；推导出 ，可得出 与 所成的角等于 ，即可判断D选项的正误．
，所以点 为 的重心，
因为重心 到 中点的距离等于中线的 ，所以重心 到 的距离等于高线的 ，可得 ，同理可得 ， ，
所以 ，
所以 ，同理可得： ，
，所以 ，故选项D不正确；
故选：AB.
【点睛】结论点睛：若点O为 所在平面内一点，且 ，则
.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，则三棱锥 的表面积为________．
故选：ACD．
12.已知点O为 所在平面内一点，且 ，则下列选项正确的是（）
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，且 ，则
C.若直线 过 的中点，则
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由 ， ， 即可判断A；
将 两边平方可得 的值，再结合 即可判断B；
设 的中点为 ，则 再结合 即可得 之间的关系可判断C；取点 使得 ， ， ，则点 为 的重心，可得 ，再利用三角形面积公式即可求 ， 即可求得 ，即可判断D，进而可得正确选项.
故选：D.
3.当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
用复数的几何意义两复数和的模大于或等于模的差，直接求最小值．
【详解】∵|z+2|＝|（z+3﹣4i）+（﹣1+4i）|≥|﹣1+4i|﹣|z+3﹣4i|
＝ ﹣1＝ ﹣1
∴|z+2|的最小值是 ﹣1．
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 ；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）设 ， 且 ，由条件可得 ①， ②．由①②联立的方程组得 、 的值，即可得到 的值；
（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解 ．
【详解】解：（1）设 ， ， .
由题意： .①
，
得 ，
，②
①②联立，解得 ，
得
（2）由（1）可得
所以
由题意可知 解得 且 且
所以
【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数的几何意义，属于基础题．
当 时， ， 只能为锐角，只有一解.
∴ 的范围是 或 .
故答案为： 或 .