2015年高考立体几何大题试卷
1. 【2015高考新课标2，理19】
如图，长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=16, BC=10, AA = 8，点E , F 分别在AB , C1D1上，A1E =4 .过点E , F的平面:-与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（1题图）
（I ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（n ）求直线AF与平面〉所成角的正弦值.
2. 【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱ABC—中，已知AC丄BC ,
BC =CC 1，设 AB 1 的中点为 D , BQ BC^ E .求证：（1） DE // 平面 AA 1C 1C ; (2) BC 1 _ AB 1 .
（2题图） （3题图）
C
C
第的题图
3. 【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体 AEDQCBA ，四边形AABB ,
ADD 1A 1 ,ABCD 均为正方形，E 为Bp 的中点，过 A,D,E 的平面交CD ,于F.
(I)证明：EF //BQ ；
(□)求二面角E - A ,D - B i 余弦值. 4. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PA _平面ABCD ，且
四边形 ABCD 为直角梯 形，.ABC =/BAD = —,PA 二 AD =2,AB 二 BC =1 2
(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；
(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线 CQ 与DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长
(4题图) 5 .【2015高考福建，理17】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB A
平面BEC , BE A EC , AB=BE=EC=2 , G , F 分别是线段 BE , DC 的中点.
(I 求证：GF //平面ADE ;
(^)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.
6. 【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱 AB^A 1B 1C 1-中，.BAC =90；,
AB = AC=2 , AA = 4 , A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点.
(5题图)
D
(1)证明：A ,D _平面ABC ;
(2 )求二面角 A -BD- B 1的平面角的余弦值
7. 【2015高考山东，理17】如图，在三棱台 DEF-ABC 中，AB=2DE,G,H 分别为 AC, BC 的中点• (I)求证：BD//平面FGH ;
(□)若CF _ 平面 ABC , AB_BC,CF 二 DE , BAC = 45；，求平面 FGH 与平 面ACFD 所成的角(锐角)的大小•
8 .【2015高考天津，理17】 如图，在四棱柱 ABCD- A3GD 1中，侧棱
A A — ABCD , A
B — A
C , AB = 1,
AC = AA = 2,AD = CD = 75且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点• (I)求证：
MN //平面 ABCD ;
(II)求二面角D 1 - AC - B 1的正弦值;
(6题图)
(7题图)
1 （III ）设E 为棱AB 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为-，求线段
3
AE 的长
9.【2015高考重庆，理19】 如题（19 ）图，三棱锥P-ABC 中，PC _平面
ABC, PC =3, • ACB .D, E 分别为线段 AB, BC 上的点，且 2
CD =DE 二.2,CE =2EB =2.
10 .【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图 如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为M , GH 的中点为N
（1 ）请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线MN //平面BDH
（3）求二面角A-EG-M 的余弦值.
（8题图）
（9题图）
（1）证明：DE _平面PCD （2）求二面角 A-PD-C 的余弦值
B
11 .【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑•如图，在阳马P — ABCD 中，侧棱PD _底面ABCD，且PD £D ,过棱PC的中点E，作EF _PB 交
PB于点F，连接DE, DF , BD, BE.
（I）证明：PB _平面DEF .试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（n）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为』，求DC的值.
（11题图）
占（10题图）
3 BC
c G
12 .【2015高考陕西，理18】如图1,在直角梯形上BCD 中，丄D//2C ,厶⑺.D 二一, 2
- 2C =1, ZD =2，上是zD 的中点，O 是zC 与印：的交点•将.m ：沿印：折
起到-的位置，如图2 .
(I )证明：CD _平面.-^OC ;
(II )若平面.平面三CD ，求平面.-.^C 与平面 占CD 夹角的余弦值.
13. [2015高考新课标1，理18】如图，，四边形 ABCD 为菱形，Z ABC =120 ° E , F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD , DF 丄平面ABCD , BE =2 DF, AE 丄EC .
(I )证明：平面 AEC 丄平面AFC ;
(II )求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值
(13题图) 14. [2015高考北京，理17】如图，在四棱锥 A-EFCB 中，△ AEF 为等边三角形，平
面 AEF _平面 EFCB , EF II BC , BC =4 , EF =2a , EBC = FCB = 60 , O 为 EF 的 (14题图)
C
中占
I 八、、•
(I )求证：AO_BE ;
(n )求二面角F _AE_B 的余弦值;
(m )若BE _平面AOC ，求a 的值. 15. 【2015高考广东，理18】如图，三角形PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平 面垂直，PD =PC =4，AB = 6，BC=3.点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、 BC 上，且 AF =2FB ，CG = 2GB .
(1 )证明：PE_FG ; (2 )求二面角P - AD - C 的正切值；
(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.
16。

2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台 ABCD -A 1BGD 1上、下底面分别是 边长为3和6的正方形，AA| = 6，且AA| -底面ABCD ，点P , Q 分别在棱DD 1,
BC 上.(1 )若P 是DD 1的中点，证明：AB _ PQ ; (2)若PQ//平面ABB J A ,
3
二面角P -QD -A 的余弦值为一，求四面体ADPQ 的体积
7
(15题图
) (16题图)
B
图F
17. 【2015高考上海，理19】如图，在长方体.-.BC^.-.^1C1D1中，二二—1 ,占-=D =2，上、F分别是亠 2C的中点•证明L、C1、F、上四点共面，并
求直线CD1与平面.-.1C1F-所成的角的正弦值•
n
（17题
图）
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