第二章《基本初等函数》小结与复习（一）教学目标1.知识与技能掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识.2.过程与方法归纳、总结、提高.3.情感、态度、价值观培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.（二）教学重点、难点重点：指数函数、对数函数的性质的运用.难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解.（三）教学方法讲授法、讨论法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入（多媒体投影）1.本章知识结构学生总结，老师完善.师：请同学们总结本章知识结构.生：（1）指数式和对数式：①整数指数幂；②方根和根式的概念；③分数指数幂；④有理指数幂的运算性质；⑤无理数指数幂；⑥对数概念；⑦对数的运算性质；⑧指数式与对数式的互化关系.（2）指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的定义域、值域；③指数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1，0对本章知识、方法形成体系.2.方法总结＜a＜1两种情况）；④不同底的指数函数图象的比较；⑤指数函数的单调性（分a ＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用.（3）对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的定义域、值域；③对数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1和0＜a＜1两种情况）；④不同底的对数函数图象的比较；⑤对数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用；⑦反函数的有关知识.（4）幂函数：①幂函数的概念；②幂函数的定义域、值域（要结合指数来讲）；③幂函数的图象（过定点情况，图象要结合指数来讲）；④幂函数的性质（奇偶性、单调性等，同样要结合指数）；⑥图象和性质的应用.师：请同学们归纳本章解题方法.生：（1）函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.（2）函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤函数的单调性法.（3）单调性的判定法：①设x 1、x 2是所研究区间内的任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f （x 1）与f （x 2）的大小；③作差比较或作商比较.（注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性）（4）图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转；③利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象.（5）常用函数的研究、总结与推广：①研究函数y =21（a x ±a －x ）（a ＞0，且a ≠1）的定义域、值域、单调性、反函数；②研究函数y =log a （21x ±x ）（a ＞0，且a ≠1）的定义域、单调性、反函数.（6）抽象函数〔即不给出f （x ）的解析式，只知道f （x ）具备的条件〕的研究.①若f （a +x ）=f （a －x ），则f （x ）关于直线x =a 对称.②若对任意的x 、y ∈R ，都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），则f （x ）可与指数函数类比.③若对任意的x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y），则f（x）可与对数函数类比.应用举例例1 设a＞0，x=21（a n1－a n1-），求（x+21x+）n的值.例2 已知函数f（x）=11+-xxmm（m＞0，且m≠1）.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断f（x）的奇偶性；例1解：1+x2=1+41（a n2－2+a n2-）=41（a n2）+2+a n2-）=［21（a n1+a n1-）］2.∵a＞0，∴a n1＞0，a n1-＞0.∴a n1+a n1-＞0.∴x+21x+=x+21（a n1+a n1-）=21（a n1－a n1-）+21（a n1+a n1-）=a n1.∴（x+21x+）n=a.小结：本题考查了分数指数幂的运算性质，技巧是把根号大的式子化成完全平方的形式.例2解：（1）∵m x＞0，m x+1≠0恒成立，∴函数的定义域为R.∵y=11+-xxmm，∴m x=yy-+11＞0.∴－1＜y＜1.∴函数f（x）的值域为（－1，1）.进一步掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质等知识.培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.（3）讨论函数f（x）的单调性.【例3】己知f（x）=1+log2x （1≤x≤4），求函数g（x）=f 2（x）+f（x2）的最大值和最小值.（2）∵函数的定义域为R，关于原点对称，又∵f（－x）=11+---xxmm=xxmm+-11=－f（x），∴函数f（x）是奇函数.（3）任取x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=1111+-xxmm－1122+-xxmm=)1)(1()(22121++-xxxxmmmm.∵m1x+1＞0，m2x+1＞0，∴当m＞1时，m1x－m2x＜0，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；当0＜m＜1时，m1x－m2x＞0，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.综上，当m＞1时，函数f（x）为增函数；当0＜m＜1时，函数f（x）为减函数.小结：求值域用了反表示法，函数表达式中有指数式m x，它具有大于0的范围，注意反表示法求值域这类题型的特征.函数的单调性要注意分类讨论.例3解：∵f（x）的定义域为［1，4］，∴g（x）的定义域为［1，2］.∵g（x）=f 2（x）+f（x2）=（1+log2x）2+（1+log2x2）=（log2x+2）2－2，【例4】求函数y=log a（x －x2）（a＞0，a≠1）的定义域、值域、单调区间.又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1，∴当x=1时，g（x）min=2；当x=2时，g（x）max=7.小结：这是一道易错题，首先要考虑定义域是本题防错的关键.其实研究函数问题考虑定义域应该成为一种习惯.例4解：（1）定义域：由x－x2＞0，得0＜x＜1，∴定义域为（0，1）.（2）∵0＜x－x2=－（x－21）2+41≤41，∴当0＜a＜1时，log a（x－x2）≥log a41，函数的值域为［log a41，+∞）；当a＞1时，log a（x－x2）≤log a41，函数的值域为（－∞，log a41］.（3）令u=x－x2，在区间（0，1）内，u=x－x2在（0，21］上递增，在［21，1）上递减.∴当0＜a＜1时，函数在（0，21］上是减函数，在［21，1）上是增函数；当a＞1时，函数在（0，21］上是增函数，在［21，1）上是减函数.小结：复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的研究通常由里向外，本题作用要充分重视.另外，计算器或计算机可以帮助我们方便地作出函数图象，并可以动态地演示函数的变化过程，这对我们研究函数性质很有帮助.课后 作业作业：小结与复习 习案学生独立完成巩固新知 提升能力备选例题例1 已知f (x ) = lg x ，则y = |f (1 – x )|的图象是下图中的（ A ）【解析】方法一：y = |f (1 – x )| = |lg(1 – x )|，显然x ≠1，故排除B 、D ；又因为当x = 0时，y = 0，故排除C.方法二：从图象变换得结果：−−−−−−−→−=︒180lg 轴翻转把图象绕y x y y = lg(–x ) )1lg()lg(x y x y -=−−−−−−−−→−-=位把图象向右平移一个单 y = lg[– (x –1)]−−−−−−−−−−→−轴翻折到上方轴下方部分沿把x x y = |lg(1 – x )|. 【小结】（1）y = lg x 变成y = lg (1 – x )过程不会变换，不知道关于什么轴对称导致误解. （2）解决有关图象的选择问题，方法比较灵活，可用特值排除法，也可直接求解，但一定要注意图象的特点，对于图象的对称、平移问题一定要注意对称轴是什么. 平移是左移还是右移，移动的单位是多少，这是移动的关键.例2 设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较t a log 21与21log +t a 的大小，并证明你的结论. 【解析】∵t ＞0，∴可比较t a log 与21log +t a的大小，即比较t 与21+t 的大小. ∵当t = 1时，21+=t t ，∴21log log +=t t a a . 当t ≠1时， ∵12)(212+-=-+t t t t = 2)1(-t ＞0，∴t + 1＞t 2，∴21+t ＞t . ∴当0＜a ＜1时，t a log ＞21log +t a， 即t a log 21＞21log +t a . 当a ＞1时，t a log ＜21log +t a， 即t a log 21＜21log +t a . 综上知：当t = 1时，21log log 21+=t t aa ； 当t ＞0且t ≠1时，若0＜a ＜1， 有t a log 21＞21log +t a； 若a ＞1，则有t a log 21＜21log +t a. 【小结】解决此类比较大小的题目，要注意结合函数的单调性，作差比较一定要判断差值与0的大小，从而作出大小的比较，注意分类讨论的思想应用，本题中的t +1和t 2的比较. 可由t + 1 – 222)1(21)(-=-+=t t t t ≥0，所以t + 1≥t 2 (t =1时取等号)，从而得出0＜12+t t ≤1和21+t ≥t .。