2020年高考第二轮专题复习（教学案）：逻辑与推理考纲指要：掌握常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式，合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容。

考点扫描：1．常用逻辑用语：（1）命题及其关系；（2）简单的逻辑联结词；（3）全称量词与存在量词2．推理与证明：（1）合情推理与演绎推理；（2）直接证明与间接证明。

考题先知：例1。

已知p |1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决解由题意知命题若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p 是q 的充分不必要条件p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 * ∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9，∴实数m 的取值范围是［9，+∞)点评：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难例2．已知函数()(),023232≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围；（II ）当21≥a 时，（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/≤x g 的充要条件是43≤c ；（2）若关于x 的实系数方程()0/=x g 有两个实根βα,，求证：,1≤α且1≤β的充要条件是.412a a c -≤≤-解：（1）当1=a 时，cx x x x g ++-=232131)(，c x x x g ++-='2)( )(x g Θ在（—1，1）上为单调递增函数，0)(≥'∴x g 在（—1，1）上恒成立02≥++-∴c x x 在（—1，1）上恒成立2≥∴c（2）设)()(x f x g ='，则复习智略：例3．如图，F 是定直线l 外的一个定点，C 是l 上的动点，有下列结论：若以C 为圆心，CF 为半径的圆与l 交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与圆C 过F 的切线交于点P 和点Q ，则P 、Q 必在以F 为焦点，l 为准线的同一条抛物线上. （Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程； （Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题： “若过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于P 、Q 两点， 则以PQ 为直径的圆一定与抛物线的准线l 相切”请问：此命题是否正确？试证明你的判断；（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并证明其真假. 解：（Ⅰ）过F 作l 的垂线交l 于K ，以KF 的中点为原点，KF 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p ，则可得该该抛物线的方程为 )0(22>=p px y .（Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：如图2，设PQ 中点为M ，P 、Q 、M 在抛物线准线l 上的射影分别为A 、B 、D ，∵PQ 是抛物线过焦点F 的弦，∴ |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴2||)||||(21)||||(21||PQ QF PF QB PA MD =+=+=. ∵M 是以PQ 为直径的圆的圆心，∴圆M 与l 相切. （注：也可利用方程及坐标证明）.（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为： “过椭圆一焦点F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，则以PQ 为直径的圆一定与椭圆相应的准线l 相离”. 此命题为真命题，证明如下：证明：设PQ 中点为M ，椭圆的离心率为e ，则0<e <1，P 、Q 、M 在相应准线l 上的射影分别为A 、B 、D ，∵e PA PF =||||，∴e PF PA ||||=； 同理得 eQF QB ||||=. ∵|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴2||2||)||||(212||||||PQ e PQ e QF e PF QB PA MD >=+=+=.∴圆M 与准线l 相离.选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：“过双曲线一焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，则以PQ 为直径的圆一定与双曲线相应的准线l 相交”. 此命题为真命题，证明如下：证明：设PQ 中点为M ，双曲线的离心率为e ，则e >1，P 、Q 、M 在相应准线l 上的 射影分别为A 、B 、D ，∵e PA PF =||||，∴e PF PA ||||=； 同理得 eQF QB ||||=. ∵|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴2||2||)||||(212||||||PQ e PQ e QF e PF QB PA MD <=+=+=. ∴圆M 与准线l 相交.检测评估：1函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A ab =0B a +b =0C a =bD a 2+b 2=02 “a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分条件也不是必要条件3. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高．有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的z c b a ,,,,Λ的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数(见下表)：现给出一个变换公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤∈+≤∈+=整除能被整除不能被2,26,(132)2,26,(21**'x x N x x x x N x x x 将明文转换成密文，如1713288=+→，即h 变成q ； 32155=+→，即e 变成c ．按上述规定，若将明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是A ． lhhoB ．loveC ．ohhlD ．eovl4．命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p 是（ ） A ．有些三角形不是等腰三角形 B ．所有三角形是等腰三角形 C ．所有三角形不是等腰三角形 D ．所有三角形是等腰三角形 5、给出如下两个命题：命题A ：函数(1)y a x =-为增函数。

命题B ：不等式2(1)40()x a x a R +++≤∈的解集为∅。

若命题“A 或B ”为真命题，而命题“A 且B ”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）1A 、(5,1][3,)-+∞U B 、[5,1](3,)-+∞U C 、(5,1)[3,)-+∞U D 、(5,1)(3,)-+∞U6。

把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：1） 如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。

2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。

7。

有A 、B 、C 三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条. A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”， B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”， C 盒子上的纸条写的是“苹果不在A 盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里 8.有一个游戏：将分别写有数字1，2，3，4的四张卡片随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请4个人进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片. 结果显示：甲、乙、丙、丁4个人预测的都不正确.那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片依次为9．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题：①A B =∅I 的充要条件是()()()card A B card A card B =+U ；②A B ⊆的必要条件是()()card A card B ≤；③B B A =⋃的充要条件是()()card A card B ≤；④A B =的充要条件是()()card A card B =.其中真命题的序号是10．给出如下4个命题：①若α、β是两个不重合的平面，l 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l ⊥α，m⊥β，且l ∥m ；②对于任意一条直线a ，平面α内必有无数条直线与a 垂直；③已知命题P ：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P 的逆否命题是假命题；④已知a 、b 、c 、d 是四条不重合的直线，如果a ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥c ，b ⊥d ，则“a ∥b ”与“c ∥d ”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是_____. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上)11.角铁是一种工业用钢料(如图), 它成直二面角PQ −MN −RS (PQMN 、RSMN 是全等的长方形).取MN 的中点O,在QP 上取点B 、B 1,在SR 上取点A 、A 1,使∠MOB=∠MOA=∠B 1ON=∠A 1ON.为给一物体棱的转角处包上角铁,可沿OA,OA 1,OB,OB 1切割出∆OAA 1,∆OBB 1,然后将角铁绕内部折叠,将OA 与OA 1,OB 与OB 1焊合,并使∠MON=900.(1)设AB 的中点为D, A 1B 1的中点为D 1,证明焊接前M 、D 、D 1、N 四点共面; (2)求切割线OA 与棱OM 所成的角.12．已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋c ，在y 轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x ＝0，x ＝2时取得极小值． （Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）能否找到函数f (x )垂直于x 轴的对称轴,并证明你的结论;（Ⅲ）设使关于x 的方程f (x )＝λ2x 2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ,且两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3，3], λ∈A 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．点拨与全解：1解析若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b )=－(x |x +a |+b )=－f (x )∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件故选D 。