第八次 （第十七章 光的衍射）一、选择题[ B ]1、（基础训练1）在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为的单色光垂直入射在宽度为a ＝4的单缝上，对应于衍射角为30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为（A ） 2 个 （B ） 4 个 （C ） 6 个 （D ） 8 个 【答】已知a ＝4，θ=30°，1sin 4422a λθλ∴=⨯=⨯，半波带数目N = 4. [ C ]2、（基础训练5）一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0 mm 的单缝上，在缝后放一焦距为2.0 m的会聚透镜。

已知位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.0 mm ，则入射光波长约为（A ）100 nm （B ）400 nm （C ）500 nm （D ）600 nm 【答】中央明条纹宽度为2, 5002x ax fnm afλλ∆⋅∆≈∴== [ B ]3、（基础训练6）一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数（a + b ）为下列哪种情况时（a代表每条缝的宽度），k =3、6、9 等级次的主极大均不出现？（A ）a ＋b =2 a （B ）a ＋b =3 a （C ）a ＋b =4 a （A ）a ＋b =6 a【答】光栅缺级：()sin sin 'a b k a k θλθλ+=⎧⎨=⎩，缺级的主极大的级次为',2,3,...a b a b a b a bk k a a a a++++==，k 应为整数，依题意，k=3,6,9缺级，所以a+b=3a 符合。

[ D ]4、（基础训练10）孔径相同的微波望远镜和光学望远镜相比较，前者分辨本领较小的原因是 （A ） 星体发出的微波能量比可见光能量小 （B ） 微波更易被大气所吸收 （C ） 大气对微波的折射率较小 （D ） 微波波长比可见光波长大 【答】分辨本领为11.22R dR θλ==，孔径d 相同时，R 与波长λ成反比关系。

微波波长比可见光波长大，所以微波望远镜分辨本领较小。

[ C ]5、（自测提高2）在如图17-14所示的单缝夫琅禾费衍射装置中，将单缝宽度a 稍梢变宽，同时使单缝沿y 轴正方向作微小平移（透镜屏幕位置不动），则屏幕C 上的中央衍射条纹将（A ）变窄，同时向上移 （B ）变窄，同时向下移 （C ）变窄，不移动（D ）变宽，同时向上移 （E ）变宽，不移 【答】（1）中央明纹宽度11x 2 2sin 2f tg f faλθθ∆=≈=，现在a ↑，所以x ∆↓.（2）中央明纹即为像点，其位置只与透镜的位置及光的传播方向有关，不因缝的平移而改变。

图17-14Oy xλLCfa[ B ]6、（自测提高4）对某一定波长的垂直入射光，衍射光栅的屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该（A ）换一个光栅常数较小的光栅 （B ）换一个光栅常数较大的光栅 （C ）将光栅向靠近屏幕的方向移动 （D ）将光栅向远离屏幕的方向移动 【答】对某一定波长的垂直入射光，主极大的最大级次max k 为 0sin 90d λ<的最大整数，所以光栅常数d增大，可以使得max k 增大。

二、填空题7、（基础训练11）平行单色光垂直入射于单缝上，观察夫琅禾费衍射。

若屏上P 点处为第二级暗纹，则单缝处波面相应地可划分为__4__个半波带。

若将单缝宽度缩小一半，P 点处将是__1__级___暗__纹。

【答】根据半波带法，屏上P 点处为第二级暗纹时，sin 242a λθλ==⨯，所以，波面被分为4个半波带；若将单缝宽度缩小一半，'2a a =，则sin 'sin 2a a θθλ==，所以P 点处将是1级暗纹。

8、（自测提高8）一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束（ = 589 nm ）与光栅平面法线成30°角入射，在屏幕上最多能看到第__5__ 级光谱。

【答】光栅常数61210()500mmd m -==⨯， 斜入射时，光栅方程为0sin 30sin d d k θλ+=006max 9(sin 30sin 90)210(0.51) 5.0958910d k λ--+⨯+∴<==⨯，max 5k ∴= 9．（自测提高9）在单缝夫琅禾费衍射示意图中，所画出的各条正入射光线间距相等，那末光线1与2在幕上P 点上相遇时的相位差为 2π ，P 点应为___2级暗 点． 【答】（1）由图可见，1，2光线的光程差为δ=λ， 所以相位差为22πϕδπλ∆==.（2）设缝宽为a ，由图可见，sin 2a θλ=，所以P 点为2级暗点。

10．（自测提高10）可见光的波长范围是400 nm-760 nm 。

用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上时，它产生的不与另一级光谱重叠的完整的可见光光谱是第____1____级光谱。

【答】根据光栅方程，当max min sin (1)d k k θλλ==+时，k 为最大完整光谱的级次。

依题中所给波长，可求得fL 2λ1 2 3min max min 4001.11760400k λλλ===--，所以取1k =11、（自测提高11）钠黄光双线的两个波长分别是589.00 nm 和589.59 nm ，若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是 500 。

【答】589,499.1520.59R kN N k λλλλ=====∆∆⨯，所以N 至少应为500.三． 计算题12、（基础训练25）在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为3 mm ，若视觉感受最灵敏的光波长为550 nm ，试问：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，画的等号的两横线相距2 mm ，坐在距黑板10 m 处的同学能否看清？（要有计算过程）解：（1）设d 为人眼瞳孔直径，则最小分辨角为41.222.2410()R rad dλθ-==⨯。

（2）坐在距黑板S = 10 m 处的同学所能分辨的最小间距l 为 2.24R l S mm θ≈⋅=，等号的两横线相距2mm l <，所以不能分辨，看不清。

13、（自测提高13）波长为600 nm (1 nm=10-9m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，观察夫琅禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求： (1) 中央衍射明条纹的宽度 x 0；(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2解：9011360010(1) 22sin 22 1.00.012()0.110x f tg f f m a λθθ--⨯∆=⋅≈==⨯⨯=⨯ 22222sin (2) 20.012()sin 2x ftg f x fm a aθθλθλ=≈⎧∴==⎨=⎩14、（自测提高15）波长λ=6000Å的单色光垂直入射在一光栅上，第2级、第3级光谱线分别出现在衍射角j 2、j 3满足下式的方向上，即sinj 2=0.20，sinj 3=0.30，第4级缺级，试问：（1）光栅常数等于多少？（2）光栅上狭缝宽度有多大？（3）在屏上可能出现的全部光谱线的级数。

解：（1）第二级光谱满足：2sin 2d ϕλ=，依题意，2sin 0.20ϕ=，得：106222600010610()sin 0.20d m λϕ--⨯⨯===⨯（2）依题意，第4级缺级，即4d k k a '==，得：1k '=时，61.510()4da m -==⨯ ； 2k '=时，第2级也缺级，不符题意，舍去；3k '=时，634.510()4da m -==⨯ （3）最大级次满足：06max 10sin 9061010600010d dk λλ--⨯<===⨯ 再考虑到缺级发生在±4，±8级，所以屏上可能出现的全部光谱线的级数为：0，.9,7,6,5,3,2,1±±±±±±±15、（自测提高17）将一束波长= 589 nm 的平行钠光垂直入射在1 厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a 与其间距b 相等，求：（1）光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？（2）若光线以与光栅平面法线的夹角 = 30°的方向入射时，能看到几条谱线？是哪几级？解：光栅常数为261110()210,50005000cm a b m --⨯+===⨯条 (1) ()sin a b k θλ+=， max ()/k a b λ<+=3.39， ∴k max = 3,2a ba b a+=∴=又，∴缺级发生在2±级。

∴ 能看到5条谱线，为0，±1，±3级 。

(2) 光线以与光栅平面法线的夹角为30°的方向斜入射时，光栅方程为()sin30()sin a b a b k αλ+++=2πα=，λ/)90sin 30)(sin (︒+︒+=b a k = 5.09 取 k max = 52πα=-，λ/)90sin 30)(sin (︒-︒+=b a k = -1.7 取 1max-='k ,2a ba b a+=∴=又，所以4,2±±缺级。

∴ 能看到5条谱线，为+5，+3，+1，0，-1级。

【附加题】16、（自测提高24）两光谱线波长分别为和＋，其中<<．试证明：它们在同一级光栅光谱中的角距离()22//λλθ-∆≈∆k d ，其中d 是光栅常数，k 是光谱级次。

证：据光栅方程有 λθk d =sin微分，得 λθθ∆≈∆⋅⋅k d cos ∴ θλθcos /d k ∆≈∆ θλ2sin 1-∆=d kθλθ222sin d d k -∆≈∆ 222λλk d k -∆=()22/λλ-∆=k d 证毕。

17、（附录E ：34）一平面透射多缝光栅，当用波长1 = 600 nm (1 nm = 10-9m)的单色平行光垂直入射时，在衍射角 = 30°的方向上可以看到第2级主极大，并且在该处恰能分辨波长差 = 5×10 - 3nm 的两条谱线．当用波长2 =400 nm 的单色平行光垂直入射时，在衍射角 = 30°的方向上却看不到本应出现的第3级主极大．求光栅常数d 和总缝数N ，再求可能的缝宽a解：（1）据光栅公式 1sin d k θλ=得： 12600sin sin 30k d λθ⨯===︒2.4×103 nm = 2.4 m （2）据光栅分辨本领公式 kNR =∆=λλ/1得： =∆=λλk N 160000 （3）在 = 30°的方向上，波长2 = 400 nm 的第3级主极大缺级，也就是说此处恰好是波长2单缝衍射的一个极小，因此有： 2330sin λ=︒d ，230sin λk a '=︒ 得 a=k d / 3， k =1或2 所以，缝宽a 有下列两种可能：当 k =1 时， 4.23131⨯==d a m = 0.8 m ． 当 k =2时， 222.433a d ==⨯m = 1.6 m ．（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。