f (t ) = 1 −
１） 傅里叶系数
1 t T
0≤ t ≤T
a0 =
2 T
2 ∫ f (t )dt = T ∫
T 0
T
0
1 2 1 2 T = 1 1 − t dt = T − T 2T T
an =
2 T 2 T 1 f (t ) cos nω0 tdt = ∫ 1 − t cos nω0 tdt ∫ 0 T T 0 T 2 T 2 T = ∫ cos nω 0tdt − 2 ∫ t cos nω0 tdt T 0 T 0 2 sin nω0 t = T nω 0
T
−
0
2 T2
∫
T
0
t d sin nω 0 t nω0
T 2 2 T = sin nω 0T − t sin nω0 t 0 − ∫ sin nω 0tdt 2 0 nω 0T nω 0T T d cos nω t 1 2 0 sin 2nπ + 2 ∫0 nπ nω0T − nω 0 2 T = − 2 2 2 cos nω 0t 0 = 0 n = 1,2, L n ω0 T
E f (t ) = 2 −E 2
分别求得傅里叶系数
−T 2 ≤ t < 0 0≤ t ≤T 2
an =
2 0 E 2 T2 E cos n ω tdt + − cos nω 0tdt T 0 T ∫− 2 2 T ∫0 2 E T 2 (sin nω0 t ) 0 = − (sin nω 0t ) 0 = 0 −T 2 nω 0T
[
]
n = 1, 2, L
T=
2π ω0
该信号的三角傅里叶级数为
f (t ) =
1 ∞ 1 +∑ sin nω 0t 2 n=1 nπ
97
其频谱图如图 ３．２（ａ）所示。
An
1 2 1 π
0 1
1 2π
2 （ａ） 3
1 3π
ω
Fn
1 6π
-3
1 4π
-2
1 π
-1
1 2
1 π
1
1 4π
其频谱图如图 ３．３（ｂ）所示。
99
An
1 π
1
1 2 2 3π
2
0
2 − 15π
（ａ）
4
6
2 35π ω
Fn
1 35π
-6 -4
1 3π − 1 15π
-2
1 4
-1
1 π
1 4
1 2
1 3π 1 − 15π
4
1 35π
6
ω
0
（ｂ） 图 ３．３ （3）由图 3.1（c ）所示，方波信号在一个周期内的解析式为
它只含有 1、3、5、……等奇次谐波分量。其频谱图如图 3.4（a）所示。 ２）指数型
1 Fn = T
2 T E − jnω0 t E e dt + ∫ 2 − e − jnω0 t dt ∫−T2 0 T 2 2 T 2 E − jnω0 t 0 = e − e − jnω0 t − T 2 0 -jnω0T
2 3
1 6π
ω
0 （ｂ） 图 ３．２
２）指数型
Fn =
1 T = =
∫
t0 +T
t0
f (t ) e − jnω0 t dt =
1 T 1 − jnω 0t 1 T 1 dt = ∫ e− jnω0t dt − 2 1− t e ∫ 0 0 T T T T
∫
T
0
te− jnω0 t dt
0
(
)
(
)
E = -jnω0T =
其指数型表达式为
jnω 0T jnω0T − 2 2 1 − e − e + 1
E [ 2 − 2cos nπ ] -j2π n
f (t ) =
其频谱图如图 ３．４（ｂ）所示。
E [ 2 − 2cos nπ ]e jnω 0t n = − ∞ − j 2π n
a0 = 0 an = bn = 0 n为偶数
n 为奇数时，
an = 4 22 t cos nω0tdt ∫ T ∫0 T T T 8 2 2 = 2 t sin nω0t 0 − ∫0 sin nω0tdt T nω0 T 4 8 2 = sin nπ + 2 2 2 cos nω0t 0 Tnω0 T n ω0 f ( t ) cos nω0tdt = =− 16 4 =− 2 2 2 2 T n ω0 nπ
π
π 2 0
− j ( n +1 ) − j (n −1 ) 1 1 1 1 2 2 e + + e + − j ( n + 1) T j ( n + 1) T − j ( n −1) T j ( n − 1) T
n = 0, ±1, ±2,L
jn ω t f (t ) = ∑ Fn e
0
∞
n = −∞
0
]
100
即
2E − bn = nπ 0
故得信号的傅里叶级数展开式为
n为奇数 n为偶数
f (t ) = −
2E 1 1 1 sin ω 0t + sin 3ω 0t + sin 5ω 0t + L + sin nω0 t + L π 3 5 n n = 1,3,5, L
cos t f (t ) = 0
−
π π ≤t ≤ 2 2 π 3π ≤t≤ 2 2
１）由图可知，该函数为偶函数，故 bn = 0 。由题可傅里叶系数为
2 a0 = T an =
∫
π 2 π − 2 π
4 cos tdt = T
∫
π 2
0
cos tdt =
4 2 = T π cos t cos ntdt
∑
∞
An
2E π
2E 3π
2E 5π
5
2E 7π
ω
0 1 3 7
（ａ）
101
E π E 7π E 5π E 3π
Fn
E π E 3π
E 5π
5
E 7π
7
ω
0
1
3
（ｂ） 图 ３．４ （３）由图 ３．１（ｄ）所示，该函数为奇谐函数，其只含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次 谐波项，级数中的系统分别为
1 1 e − jnω0 t T − 0 − jnω0T − jnω0T 2
∫
T
0
tde
− jnω0 t
T − jn ω t 1 1 1 − jnω0 t T − jnω T e 0 + + te − ∫ e 0 dt 2 0 0 − jnω0T jnω0T jnω0T
π
∫ 2 (e
0
π 2
1
− jt
+ e jt ) e− jnt dt 1 − j n −1 t + e ( ) − j ( n − 1) T
π π 2 0
1 π 1 − j n +1 t − j n −1 t − j n +1 t = ∫ 2 e ( ) + e ( ) dt = e ( ) 0 T − j ( n + 1) T =
95
３．２ 教材习题同步解析
３．１ 如图 ３．１ 所示信号 f (t ) ，求指数型与三角型傅里叶级数，并画出频谱图。
图 ３．１
【知识点窍】信号指数型与三角型傅里叶级数的写法，频谱图画法。 【逻辑推理】三角型的傅里叶级数为
f (t ) =
a0 + a1 cos ω 0 t + a 2 cos 2ω 0t + L + b1 sin ω 0t + b2 sin 2ω 0t + L 2 ∞ a = 0 + ∑ (a n cos nω 0t + bn sin nω 0t ) 2 n=1
[ [
]
bn =
2 T E E 2 sin n ω tdt + − sin nω 0 tdt 0 ∫− T2 2 ∫ T 0 2 E T 2 = (− cos nω 0t ) 0 + (cos nω 0t ) 0 −T 2 nω 0T E = [2 cos(nπ ) − 2] 2πn 2 T
第三章
连续时间信号与系统的频域分析
３．１ 学习重点
1、了解函数正交的条件及完备正交函数集的概念。 2、能用傅立叶级数的定义式、基本性质求解周期信号的频谱、频谱宽度，会画频谱图；理 解连续周期信号频谱的特点，相位谱的作用。 3、能用傅立叶级数的定义式、基本性质求解非周期信号的频谱，会画频谱图，求信号的频 谱宽度。 4、掌握常用周期信号的傅立叶变换和非周期信号的傅立叶变换，理解周期信号与非周期信 号之间的关系。 5、熟练掌握傅里叶变换的性质，并会灵活应用。 6、理解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概念，会在时域和频域两个域中求解功率 信号的功率和能量信号的能量。 7、熟练利用傅里叶变换对称特性、部分分式展开法、傅里叶变换性质和常见信号的傅里叶 变换对，求傅立叶反变换。 8、深刻理解频域系统函数 H ( jω ) 的定义，物理意义，会求解并应用。 9、掌握系统零状态响应、零输入响应和全响应的频域求解方法；连续周期信号响应的频域 分析方法。 10、理解无失真传输系统，及无失真传输的条件。 11、理解理想滤波器的定义、传输特性等。 12、了解抽样信号的频谱及其求解，理解抽样定理。 13、了解调制与解调的基本定理与应用。 14、用 MATLAB 进行连续时间信号与系统的频域分析