2020/7/18
求A的最 大特征值
和其 对应的 特征向量
精品课件
单 位 化
权重 向量
W
12
(a)求和法(算术平均法)
• A的元素按列归一化 • 将归一化后的各列相加 • 将相加后的向量归一化
bij
aij aij
i
vi bij j
wi
vi vj
j
Hale Waihona Puke 2020/7/18精品课件
13
（b）方根法(几何平均法)
的程度。
2020/7/18
精品课件
18
度量相容性的指标为C.I. 一般情况下，若C.I.≤0.10，就可认为判断矩阵A'有相容性， 据此计算的W '是可以接受的，否则重新进行两两比较判断。
一致性检验：
C.I. max n
n 1
2020/7/18
精品课件
19
判断矩阵的维数n越大，判断的一致性将越差，为克服一致性判断指标 随n增大而明显增大的弊端，于是引入修正值R.I. ，见下表：
相对重要度及判断矩阵的最大特 征值的计算(单排序)
在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道Ai 关于H 的相对重要度，也就是Ai关于H 的权重
A W max W
2020/7/18
精品课件
11
由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量即为W，为此， 可先求出判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过 归一化处理，即可求出Ai关于H的相对重要度
2020/7/18
标度
1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数
含义
两个要素相比，具有同样重要性 两个要素相比，前者比后者稍微重要 两个要素相比，前者比后者明显重要 两个要素相比，前者比后者强烈重要 两个要素相比，前者比后者极端重要 上述相邻判断的中间值 两个要素相比，后者比前者的重要性标度
精品课件
10
方案层：解决问题的方案。
• 分解法：目的
分目标(准则)
指标(子准则)
……
方案
• 解释结构模型化方法(ISM法)
2020/7/18
精品课件
5
层次结构往往用结构图形式表示，图中标明上一层次与 下一层次要素之间的联系。 如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系， 称为完全相关结构。 如果上一层每一要素都有各自独立的、完全不相同的下 层要素，称为完全独立性结构 由上述两种结构结合的混合结构
精品课件
层次分析模型
运用层次分析法进行决策的过程包括建立层次结构模型、构造判 断模型等内容。具体而言，层次分析法分析过程包括３步：
建立层次结构模型； 决定各层指标的权重，将同一层的指标与上一层中某个指标进行
两两成对比较，采用定性和定量标度其重要程度，构造出判断模 型，计算出各层指标的权重，并通过计算判断矩阵的一致性来验 证权重是否合理； 计算出待选方案的相对权重并排序，完成决策。
2020/7/18
精品课件
6
判断矩阵
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计算各要素权重的 重要依据。
建立判断矩阵 A (aij )nn
aij wi / wj
假设在准则H下要素 A1 ,A2 ,,An 的权重分别为 w1 ,w2 ,,wn
即
w (w1 ,w2 ,,wn )T
2020/7/18
精品课件
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R.I. 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49
R.I.是同阶平均随机一致性指标
2020/7/18
精品课件
20
C.R .作为衡量判断矩阵一致性的指标更为合理的 C.R.<0.1时，便认为判断矩阵具有满意的一致性
2020/7/18
精品课件
17
由于判断矩阵的三个性质中的前两个容易被满足，第三 个“一致性“则不易保证。如判断矩阵A被判断为A'有 偏差，则称A'为不相容判断矩阵，这时就有
A' W ' max W '
若矩阵A 完全相容，则有λmax=n ，否则λmax>n 这样就提示我们可以用λmax-n的关系来度量偏离相容性
2020/7/18
精品课件
15
求特征值：
max
j
( AW )i nWi
2020/7/18
精品课件
16
相容性（一致性）判断
根据矩阵理论，判断矩阵在满足上述一致性的条件下，
n阶矩阵具有唯一非零的、也是最大的特征值
，
其余特征值均为零。
max n
W 是矩阵A 的对应于特征值n 的特征向量。
AW nW
量尺度，称做判断尺度，其取值如表所示。
选择1—9之间的整数及其倒数作为 aij 取值的主要原因
是，它符合人们进行比较判断时的心理习惯 实验心理学表明，普通人在对一组事物的某种属性同时作
比较、并使判断基本保持一致时，所能够正确辨别的事物 最大个数在5～9 。
2020/7/18
精品课件
9
判断矩阵标度定义
精品课件
层次分析法的基本步骤
建立层次结构模型； 构造判断矩阵； 层次单排序及一致性检验； 层次总排序及一致性检验。
2020/7/18
精品课件
4
建立层次结构模型
多级递阶结构一般可以分成三层，即目标层，准则层和方案层。
目标层：解决问题要想达到的目标。
准则层：针对目标，评价各方案时所考虑的各个子目标（因素 或准则），可以逐层细分。
7
aij 表示以判断准则H 的角度考虑要素 Ai 对Aj 的相 对重要程度。
对于准则H，对下一层的n个要素 A1 , A2 ,, An
进行两两比较，来确定矩阵的元素值， aij满足：
aij 1 aij 1/ a ji aik akj aij
2020/7/18
精品课件
8
aij 的判断尺度
判断矩阵中的元素 aij 是表示两个要素的相对重要性的数
决策支持系统
案例
精品课件
层次分析模型的决策应用
层次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP )是美 国运筹学家、匹兹堡大学萨第（T. L. Saaty）教授于 20 世纪 70 年代提出的一种系统分析方法，80年代初 引进我国，是一种定性与定量分析相结合的多目标属性 决策分析方法。
• A的元素按行相乘 • 开n次方 • 归一化
bij aij j
vi n bij
wi
vi vj
j
2020/7/18
精品课件
14
(c)特征根方法
AW max W
由正矩阵的Perron定理可知 max 存在且唯一，W的分量
均为正分量，可以用幂法求出 ma及x 相应的特征向量W。
该方法对AHP的发展在理论上有重要作用。