分类计数原理和分步计数原理
法计数原理,否则不可以. 分步计数原理中,“完成一件事,需要分成 n 个步骤”,是说 每个步骤都不足以完成这件事,这些步骤彼此间也不能有重复 和遗漏.
基础自测 1.3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某
次主题班会,则不同的选法种数为 _____5___. 解析 “完成这件事 ”即选出一人作主持人,可分为 选女主持人和男主持人两类进行,分别有 3 种选法和 2 种选法,所以共有 3+2=5(种)不同的选法
(2) P 可表示平面上多少个第二象限的点?
(3) P 可表示多少个不在直线 y=x 上的点?
思维启迪 :完成“确定点 P”这件事需依次确定 横、纵坐标,应用分步计数原理.
解 (1)确定平面上的点 P(a,b)可分两步完成: 第一步确定 a 的值,共有 6 种确定方法; 第二步确定 b 的值,也有 6 种确定方法. 根据分步计数原理,得到平面上的点数是 6×6=36.
2.分步计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成第二步有 m2 种不同的方法,……, 完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事情共
有 N= m1×m2×…×mn 种不同的方法.
3.分类计数原理与分步计数原理,都涉及完成一件事情的 不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理 与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法 都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步 骤相互依存,只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成.
探究提高 分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它 的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意 满足一个基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属 于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法, 只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.
变式训练 1 如图所示,在连接正八边 形的三个顶点而成的三角形中,与正 八边形有公共边的三角形 40 个。
解析 由分步计数原理,一条长裤与一件上衣配成一 套,分两步,第一步选上衣有 4 种选法,第二步选长裤 有 3 种选法,所以有 4×3=12(种)选法.
4.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有
(c )
A.50 个 B.45 个 C.36 个 D.35 个
解析 利用分类加法计数原理: 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
5.5 名应届毕业生报考三所高校, 每人报且仅报一所
院校,则不同的报名方法的种数是 ( A )
A.35
B.53 C.A35
D.C
3 5
解析 第 n 名应届毕业生报考的方法有 3 种(n= 1,2,3,4,5) ,根据分步计数原理知,不同的报名方法 共有 3×3×3×3×3=35 种.
题型分类 深度剖析
题型一 分类计数原理 例 1 高三一班有学生 50 人,男生 30 人,女生 20 人;高三二
班有学生 60 人,男生 30 人,女生 30 人;高三三班有学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有 多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一名学 生任学生会体育部长,有多少种不同的选法? 思维启迪: 用分类计数原理. 解 (1)50+60+55=165(种),即所求选法为 165 种. (2)30+30+20=80(种),即所求选法有 80 种.
[难点正本 疑点清源] 1.两个原理的联系与区别
两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的. 区别在于:(1) 分类计数原理是 “分类”,分步计数原理是 “分步”;(2)分类 加法计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件 事,分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步, 不能独立完成这件事.
第十章 排列、组合和二项式定理
§10.1 分类计数原理与分步计数原理
基础知识 自主学习
要点梳理 1.分类计数原理
完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不 同的方法,在第二类方案中有 m2 种不同的方法,……,在 第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事情,共有
N= m1+m2+…+mn 种不同的方法.
(2) 确定第二象限的点,可分两步完成: 第一步确定 a,由于 a<0,所以有 3 种确定方法; 第二步确定 b,由于 b>0,所以有 2 种确定方法. 由分步计数原理,得到第二象限的点的个数是 3×2=6. (3) 点 P(a,b)在直线 y=x 上的充要条件是 a=b. 因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素,共有 6 种取法, 即在直线 y=x 上的点有 6 个. 由(1)得不在直线 y=x 上的点共有 36-6=30 个.
探究提高 利用分步计数原理解决问题:①要按事件发生的 过程合理分步,即分步是有先后顺序的;②各步中的方法互 相依存,缺一不可,只有同的信箱中,所有投法的种数是 __3__4____ .
解析 第 n 封信有 3 种投法(n=1,2,3,4),根据分步计数原 理 4 封不同的信投入三个不同的信箱共有 3×3×3×3= 34(种)投法.
3.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条 长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数是 ___1_2____.
解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类: 第一类,有一条公共边的三角形共有 8×4=32(个); 第二步,有两条公共边的三角形共有 8(个). 由分类计数原理知,共有 32+8=40(个).
题型二 分步计数原理
例 2 已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面
上的点(a,b∈M),问: (1) P 可表示平面上多少个不同的点?
2.对两个原理的进一步理解
分类计数原理中, “完成一件事,有 n 类办法”,是说每种办 法“互斥”,即每种方法都可以独立地完成这件事,同时他们 之间没有重复也没有遗漏. 进行分类时,要求各类办法彼此之 间是相互排斥的,不论哪一类办法中的哪一种方法,
都能独立完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用分类加