2019-2020学年高考数学复习讲义 平面几何
一、考试要求：平面几何是自主招生考试中北约、华约、卓越共同考查的内容，主要考查平 面图形中三边角关系以及长度、角度、面积的计算；考查学生逻辑思维能力，推理认证 能力及计算能力.
二、知识准备：
定理：梅涅劳斯定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或他们的延长线与一条不经过其 顶点的直线交于P 、Q 、R 三点，则1=∙∙RB
AR QA CQ PC BP . 梅涅劳斯逆定理：设P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或他们的延 长线上三点，若有1=∙∙RB
AR QA CQ PC BP ，则P 、Q 、R 三点在同一条直线上. 三、题型训练：
类型一：凸多边形有关的计算或证明
例1：（2012北约）求证：若圆内接五边形的两个角都相等，则它为正五边形.
例2：（2008北约）求证：边长为1的正五边形对角线长为2
15+.
例4：（2013北约）如果锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边距离比.
例5：（2009北大）圆内接四边形ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4.求圆的半径.
例6：（2011北约）在△ABC 中，若c b a 2≥+，证明
60≤∠c .其中∠A,∠B,∠C 的对 边 分别为c b a ,,. 例7：（2009中国科技大）如图：已知D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的三等分点.且EC ＝ ２AE ，BD ＝２CD ，AF ＝２BF ，若1=∆ABC S ，试求PQR S ∆.
例８：（２０１１华约）如图，已知△ABC 的面积为２，D ，E 分别
为边AB ，AC 上的点， F 为线段DE 上一点，设z DE
DF y AC AE x AB AD ===,,，且1=-+x z y .则△BD 下面 积的最大值为（ ） A.
278 B. 2710 C. 2714 D. 27
16
例9：（2010五校）如图，△ABC 的两条交线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则△OFG 与△GAH 面积之比为（ ）
A. 1:4
B. 1:3
C. 2:5
D. 1:2
例10：（2011北大保送）在△ABC 内有一点P ，满足PCA PAC PAB PBC ∠=∠=∠=∠. 求证：△ABC 的三边边长成等比数列
.
例11：（2009南京大学）P 为△ABC 内一点，它到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为321,,d d d ，
S 为△ABC 的面积.求证：s
c b a
d c d b d a 2)(2
321++≥++（这里c b a ,,分别表示BC ， CA ，AB 的长）
.
例14：（2007克罗地亚国家采训队）已知：S 为△ABC 内一点，证明：当S 到△ABC 三边 距离的积取最大值时，S 为△ABC 的重心.
例15：在锐角△ABC 中，111,,C B A 分别为BC ，CA ，AB 的中点，O 为△ABC 外接圆的圆 心，若外接圆半径为1，证明：
6111111≥++OC OB OA .。