大石桥二高中2016-2017学年度上学期9月月考高三数学（理）科试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 1．已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|ln(2)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)- 2．若复数34a ii-+的实部是25，则实数a =（ ）A ．2B ．143C ．23D ．23-3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 4．已知tan （α﹣）=，则的值为（ ）A ．B ．2C ．2D ．﹣25．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，则5()6f π的值为（ ） A ．12-B ．32-C ．12D ．326．已知||=2，||=3，||=，则向量与的夹角为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．90° 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =,则95S S =（ ）A ．1B ．2C ．95 D ．598．在ABC Rt ∆中， 90=∠A ，F E AC AB ,,4,2==分别为BC AB ,的中点，则=⋅AF CE （ ） A ．9 B ．9- C ．7 D ．7- 9．曲线1x y xe-=在点(1,1)处切线的斜率等于（ ）A ．2e C ．2 D ．110．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）.A. 1>aB. 1,0≠>a aC. 10<<aD. φ∈a 11．已知函数1()lnsin 1xf x x x+=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是（ ） A ．(32)， B ．(32)-， C ．(12)， D ．(35)，12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式()()2201420144(2)0x f x f ++-->的解集为（ ） A ．(),2012-∞- B ．()2012,0-C ．()2016,0-D ．(),2016-∞-二、填空题（每题5分，共20分） 13．函数y ＝lg(2)x +的定义域为________．14．若函数()22f x x ax =+-在()0,+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是 ． 15．在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________．16．已知x 21x 2f (x)3,x 2x 1⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩-，，若f (x)a 0-=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为三、解答题（共70分，规范书写，写出必要的证明或计算过程） 17．（本小题满分12分）已知函数x x x f 2sin 262sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+-=π，R x ∈ （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）记ABC ∆的内角A,B,C 的对边长分别为c b a ,,，若3,1,1)2(===c b B f ，求a 的值．18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n 都有23n n S a n =-. （1）设3n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，（2）求出{}n a 的通项公式。

（3）求数列{}n na 的前n 项和T n .19．（本小题满分12分）如图：四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，且BD AC =，ABCD PA 底面⊥，1==AB PA ，3=BC ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）证明：当点E 在边BC 上移动时，总有PE AF ⊥； （2）当CE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°．20．（本小题满分12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数469634（1）完成被调查人员的频率分布直方图；（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查， 求恰有2人不赞成的概率；（3）在（2）的条件下，再记选中中不赞成．．． “车辆限行”的人数为ξ，求随 机变量ξ的分布列和数学期望．21．（本小题满分12分）已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； （Ⅲ）求证：22222232323ln 1ln 1ln 12(31)(31)(31)n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.选做题（22题和23题只选一题作答，满分10分） 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为12(312x t t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若不等式|1|()3|2|m f x x +≥+-有解，求实数m 的取值范围.数学理科参考答案6-10 BADCA 11A 12D13．[)1,-+∞ 14．[)0+∞， 15．120． 16．()10，17、（12分）试题解析：（Ⅰ）x x x f 2sin 2)62sin(2)(-+-=π)2cos 1()6sin 2cos 6cos2(sin 2x x x --π+π-=)2cos 212sin 23(2cos 1x x x +-+=12sin 232cos 21+-=x x 1)32cos(++=πx 所以函数)(x f 的最小正周期为π。

（Ⅱ）由1)2(=B f 得11)3cos(=++πB ,即0)3cos(=+πB 又因为π<<B 0,所以πππ3433<+<B 所以23ππ=+B ,即6π=B ． 因为3,1==c b 所以由正弦定理C c B b sin sin =,得23sin =C 故ππ323或=C 当22322=+===c b a A C ，从而时，ππ当16632=====b a B A C ，从而，又时，πππ故a 的值为1或2．18．（12分）试题解析：（1）∵S n =2a n ﹣3n ，对于任意的正整数都成立，∴S n ﹣1=2a n ﹣1﹣3n ﹣3， 两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n ﹣3，即a n+1=2a n +3，∴a n+1+3=2（a n +3），∴b n+1=2 b n 所以数列{b n }是以2为公比的等比数列，（2）由已知条件得：S 1=2a 1﹣3，a 1=3．∴首项b 1=a 1+3=6，公比q=2，∴a n =6⋅2n ﹣1﹣3=3⋅2n﹣3．（3）∵na n =3×n ⋅2n﹣3n∴T n =3（1⋅2+2⋅22+3⋅23+…+n ⋅2n）﹣3（1+2+3+…+n ），2T n =3（1⋅22+2⋅23+3⋅24+…+n ⋅2n+1）﹣6（1+2+3+…+n ）， ∴﹣T n =3（2+22+23+ (2)）+3（1+2+3+…+n ）=()()22131362212n n n n n -+⨯-⋅+- ∴()()3166262nn n n T n +=-⋅+-19．（12分）试题解析：（1）分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间坐标系则可得P （0，0，1），B （0，1，0），F （0，，），D（，0，0）设BE=x，则E（x，1，0）∴=（x，1，﹣1）得=x•0+1×+（﹣1）×=0可得，即AF⊥PE成立；（2）求出=（，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为则，得∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，=（0，0，1）∴sin45°==，得=解之得x=或x=∵BE=x，∴BE=，即当CE等于2时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．20．（12分）试题解析：（1）各组的频率分别为,,，,,，所以图中各组的纵坐标分别为,,，, ,（2）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：()111224644422225105104246666222=,1045104522575C CC C CpC C C Cξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=（3）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3()22642251061545150=,104522575CCpC Cξ==⋅=⋅=()21112646442222510510415624102341=,1045104522575C C CC CpC C C Cξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=()124422510461243=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：ξ123p1575 34752275475所以ξ的数学期望65E ξ=． 21．（12分）解：（Ⅰ）'()xf x e a =- 0a ∴≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增；0a >时，(,ln )x a ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ），0a >时，min ()(ln )f x f a =，(ln )0f a ∴≥ ， 即ln 10a a a --≥，记()ln 1g a a a a =-- (0)a >．'()1(ln 1)ln g a a a =-+=-，()g a ∴在(0,1)上增，在(1,)+∞上递减，()(1)0g a g ∴≤=，故()0g a =，得1a =．（Ⅲ）由（Ⅱ）1x e x ≥+，即ln(1)x x +≤(1)x >-，则0x >时，ln(1)x x +<．要证原不等式成立，只需证：21232(31)k nkk =⨯<-∑，即证：2131(31)knk k =<-∑ 下证21322(31)3131k k k k +≤---- ① 22343323133431k k k k k k⋅⇔≤-⋅+⋅-⋅+224(3231)33431k k k k⇔-⋅+≥⋅-⋅+ 234330k k ⇔-⋅+≥(31)(33)0k k ⇔--≥①中令1,2,,k n =，各式相加，得213(31)knk k =-∑1222()3131<---2322()3131+---122()3131n n +++---11223131n +=---1<成立， 故原不等式成立.方法二：1n =时，2233(31)2n n ⨯=-， 2n ≥时，22323(31)(31)(33)n n n n n ⨯⨯<---1123(31)(31)n n n --⨯=--1113131n n -=---， 2n ≥时，213(31)k nk k =-∑3112231n<+--2<． 22．（10分）试题解析：（1）利用极坐标公式, 把曲线C 的极坐标方程22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为22sin 2cos ρρθρθ=+,所以曲线C 的普通方程是2222x y y x +=+,即()()22112x y -+-=.（2）直线和曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P ,把直线的参数方程12(312x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数) 代入曲线C 的普通方程是()()22112x y -+-=中, 得210t t --=,()21212121212121211111,451t t t t t t t t t t PA PB t t t t +=-⎧∴∴+=+==+-=⎨=-⋅⎩.23．试题解析：（1）不等式()0f x >，即2+120x x -->， 由不等式2+12x x >-两边平方化简得：()()3130x x -+> 解得：3x <-或13x >，所以不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．（2）由条件知，不等式()1+32m f x x +≥-有解，即121+24m x x +≥+-有解. 设()21+24g x x x =+-，则问题可转化为()min 1m g x +≥， 而()21+2421245g x x x x x =+-≥+-+=，由15m +≥解得：6m ≤-或4m ≥ ，所以a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞.。