。

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3

解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型 号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然
后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作
更改。
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4
1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩 图如图c和图e。最大弯矩
在距左支座0.8 m处，
2

48 EI
可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为
wC
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Fa 3 l 4 a
2

2

9
48 EI
于是由叠加原理可得
w max w C 1 48 EI [ 120 10 N 0 . 4 m 3 2 . 4 m 4 0 . 4 m
3 2 2 2
2 2
2
2
m 4 0 .6 m
2 2
2
]

48 210 10 Pa 2 1 780 10

1671 10 N m

m
4

4 . 66 10
3
m
而许可挠度为
w
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1 w l 2 . 4 m 6 10 l 400
5 q l 2 a 384 EI ql EI
4
4
2
2 l 2 a
16 EI
0 . 000 616
13
而此时外伸端D和E的挠度也仅为
wD wE qa
4

q (l 2 a ) 24 EI ql EI
4
3
a
qa 2
2
(l 2 a ) 2 EI
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3. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截 面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座
的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计
算公式为
wC Fb 3 l 4 b
2




2

30 10 40 10 12 10
9
3
N 0 . 8 m 3 2 . 4 m 4 0 . 8 m
2 2 2 2
3
3
N 0 . 9 m 3 2 . 4 N 0 . 6 m 3 2 . 4
3 2 8
2
m 4 0 .9 m
Mmax=62.4 kN· m。梁所需 的弯曲截面系数为
M 62 . 4 10
3 6
Wz

max

N m Pa
170 10
367 10
6
m
3
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5
而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6 m3/2=183.5× 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需
4
384 EI
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Байду номын сангаас12
如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所
示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为
(a)
M
2
M
max
C
M
A
M
2
B
qa 2
0 . 0214 ql
而且跨中挠度减小为
qa 2
2
w max w C
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3
m
由于wmax<[w]，故选用20a号槽钢满足刚度条件。
10
Ⅱ. 提高梁的刚度的措施 (1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增
a
8 EI
0 . 000 207
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( )
14
所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加 梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自 由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰 支座。
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的Wz=183.5×10-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应
力[]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。 现加以检验：

max

62 . 4 10 N m
3
2 178 10

6
m
3

175 10 Pa 175 MPa
6
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435
跨比)，[q]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度 条件。
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1
土建工程中通常只限制梁的挠跨比，
机械工程中，对于主要的轴，w l 1 5000 ~
1 1 w ~ l 250 1000 1
。在
；对于传动轴还
~ 0 . 001 rad
kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
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6
2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各
横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
F S , max 2 138 kN 2 69 10
3
N
每根20a号槽钢其横截面在中性轴一 侧的面积对中性轴的静矩，根据该号 槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：
要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，q 0 . 005
10000
。
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2
例题1 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既
满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[]=170
MPa，[]=100 MPa，E=210 GPa，
1 w l 400
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7
100 11 11 * S z , max 73 mm 11 mm 100 mm 100 11 mm 7 mm mm 2 2
104000 mm
3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4 于是
§5-5梁的刚度校核 .提高弯曲刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满 足刚度条件：
w max l w l
q max [q ]
w 式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠 l
大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截
面。
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(2) 调整跨长和改变结构的体系
跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为
ql 8 5 ql
4 2
M
max

0 . 125 ql
2
w max
0 . 0130
ql EI
max
( F S , max / 2 ) S z , max I zd
6

( 69 10
3
N) 104 10
-8
-6 3
m
3
(1780 10
m )( 7 10
4
m)
57 . 6 10
Pa 57.6 M Pa
其值小于许用切应力[]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切 应力强度条件。