欧启通主编. 概率论与第数2理页统/共计5.2浙页江大学出版社, 2014. 2
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第7章 参数估计
在参数估计问题中，假定总体分布形式已知， 未知的仅仅是一个或几个参数.
参数估计问题是利用从总体抽样得到的样本来 估计总体的某些参数或者参数的函数.
点估计
参数估计 区间估计
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§7.1 点估计
设总体X的分布函数F ( x, )含有未知参数，抽取容量 为n的样本X1, X2 ,L , Xn构造一个统计量ˆ ˆ( X1, X2 ,L , Xn )， 用它的观测值ˆ( x1,x2,,xn )来估计未知参数，称ˆ( X1, X2 ,L , Xn )为的估计量，ˆ( x1,x2,,xn )称为的估计值.
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例1 已知总体X 在[0, ]服从均匀分布，其中 ( 0)为
未知参数，X1, X2 ,L , Xn是总体X的一个样本.
(1) 求的矩估计量ˆ；
(2) 若9.58 , 9.50 , 9.70 , 10.00 , 9.93 , 9.99 , 10.60 , 10.49
理论根据：只要总体的l 阶矩存在,样本的l 阶矩依 概率1收敛于总体的l 阶矩。
总体矩
总体矩的估计值
样本矩
k E( X k )
ˆk
Ak
1 n
n i1
X
k i
k E[ X E( X )]k
ˆk
Bk
1 n
n
(Xi
i1
X )k
显然欧，启通ˆ主1 编. 概A率1论与数X理,统ˆ计2. 浙江B大2学出版n社n, 20114s.22 , 通常取ˆ52 s2。
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练习2 设总体X服从参数为的泊松分布，即
P { X
k}
k
k!
e
(k 0,1, 2；0 )
试求的矩估计量.
解 由于E( X ) , 据矩估计法有 ˆ X
又由于 D( X ) , 故可得的另一个矩估计量为ˆ S2
由此可见一个参数的矩估计量是不唯一的.
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参数的点估计(方法)：指用样本统计量的值估计未知 参数的值。
矩估计法
点估计 极大似然估计法
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7.1.1 矩估计法 ——英国统计学家皮尔逊(K.Pearson)
矩估计法：是用样本矩估计相应的总体矩，用样本 矩函数估计总体矩的同一函数的一种估计方法。
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例1 已知总体X 在[0, ]服从均匀分布，其中 ( 0)为
未知参数，X1, X2 ,L , Xn是总体X的一个样本.
(1) 求的矩估计量ˆ；
(2) 若9.58 , 9.50 , 9.70 , 10.00 , 9.93 , 9.99 , 10.60 , 10.49
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7.1.2 最大（极大）似然估计法
极大似然估计法是求估计值的另一种方法，最 早由高斯(R.A,Gauss)提出，后来为费歇尔（Fisher) 在1921年重新提出，并证明该方法的一些性质．它 是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法．
极大似然原理：一个随机试验有若干种可能的结果A ， B， C ， …．若在一次试验中，结果A出现，则一般 认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大。
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矩法的优点是简单易行，并不需要事先知 道总体是什么分布 .
缺点是，当总体类型已知时，没有充分 利用分布提供的信息 . 一般场合下，矩估计量 不具有唯一性 .
其主要原因在于建立矩法方程时，选取那 些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性 . 在一般情况下，通常采取的原则是：能用低阶 矩处理的就不用高阶矩．
第7章 参数估计
§7.1 点估计 §7.2 点估计的优良标准 §7.3 区间估计
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第7章 参数估计
先看一看统计推断的大体思路: 总体
随机抽样
作出推断 样本
描述
统计推断的基本问题分为两大类:
统计量
1、估计问题（本章）
2、假设检验问题（第八章）
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引例 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个 白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球，今随机地 取出一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得 白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？
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练习1 设总体X ~ U[1，2]，试求1,2的矩估计量。
解
由于E(
X
)
1 2
(1
2
),
D(
X
)
1 12
(2
-1
)2
,
据矩估计法有 m1 A1 c2 B2
即
1 2
(1
1 (
12
2) 2 1 )2
X B2
解得1，
的矩估计量为：
2
ˆ1 X 3B2 , ˆ2 X 3B2
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为一组样本观察值，求的矩估计值.
解 (2)代入样本观察值，求得样本均值
x
1 8
8 i 1
xi
9.974
则得的估计值 : ˆ 2x 19.95
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例2 设总体X ~ N (, 2 ),试求, 2的矩估计量。
解 由于E( X ) , D( X ) 2, 据矩估计法有
考虑总体X的一、二阶原点矩
21((XX))
E( X ) E(X 2)
X
1
2
1 n
n i 1
Xi
2 2 1
n
,
n i 1
X
2 i
.
解得
1
n
n i 1
X
2 i
X
1
n
n i 1
(Xi
X
)2
即, 2的矩计量分别为：
ˆ X , ˆ
1 n
n i 1
( xi
x)2
欧启通主编. 概率论与第数8理页统/共计5.2浙页江观率察密值度，函求数的f矩( x估) 计值1 ., 0 x ,
0,
其他.
考虑总体X的一阶原点矩即总体的期望
用样本 1的(2X一) n1阶iEn原1(XX点i),矩得 V1的x估fn1(计xin)1量 dXx：i作ˆ为0xn2d1的xin1估X计2i 量2：X