同频正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
相
i2
位

i1
t
i1 1 2 0
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
例 已知： i sin1000 t 30
幅度： 频率：
Im 1A
I 1 0.707 A 2
1000 rad/s f 1000 159 Hz
解：
3
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A 2
U 311.1 60 220 60 110 j190.5 V 2
I
100 / 6
/3
220
U
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A
I2 10 e j30 A
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
相量的书写方式
旋转矢量
最大值 Um
有效值 U
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号： Um、Im
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
3. 相量符号 U、I包含幅度与相位信息 U、I
则： U U1 U2 U1 U 2 e j(12 )
3. 除法运算
设： U1 U1e j1 U2 U 2e j 2
则：
U1 U2
U1 U2
e j12
复数符号法应用举例
例1：已知瞬时值，求相量。
已知:
i 141.4sin314t A
6
求：
u 311.1sin314t V i 、u 的相量
2 2
初相位： 30
§2-2 正弦波的相量表示方法
正弦波的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i Im sin1000 t 30
相量
必须
重点 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
正弦波的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
一、交流电的特征、周期和频率 二、正弦波的三要素 三、相位差 四、有效值
一、 正弦波的特征
i
i Im sin t
Im
t
特征量:
（三要素）
I m ： 幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒）
： 初相角
正弦波特征量之一 —— 幅度
i Im sin t
I 为正弦电流的最大值 m
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。 如：Um、Im
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60) A
i2 10 2 sin(6280t 30) A
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值
隐含频率的信息。
正弦波的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示。
u1 2U1 sin t 1
U2
u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
2
1
U1
相位： 2 1
U1 落后于 U2
？ U2领落先后 U1
例2：只有同频率正弦波才能相加
u1 2U1sin t 1
正弦交流电的优越性： 便于传输； 有利于电器设备的运行； 电路具有典型性
.....
正弦交流电的方向
正弦交流电也有参考方向,一般按正半周的方向假设。
ii
实际方向和假设方向一致
u
R
t
实际方向和假设方向相反
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量 的正方向，然后才能用数学表达式来描述。
§2.1 交流电的基本概念
第二章 正弦交流电路
• 重点：
❖三要素（特征） ❖正弦量的四种表达式 ❖相量法、相量图 ❖R、L、C伏安特性的相量形式 ❖功率P、Q、S ❖谐振
❖Cos
补： 正弦交流电路
如果在线性电路中，如果全部激励都是同一频 率的正弦函数，则电路中的全部稳态响应，也将是 同一频率的正弦函数，这样的电路称为正弦交流电 路。
b
U
a
U a jb
U (cos jsin)
U e j
U
代数式
指数式 极坐标形式
相量的复数运算
1. 加 、减运算
设： U1 a1 jb1 U2 a2 jb2
则：
U& U&1 U&2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
2. 乘法运算
设： U1 U1e j1 U2 U 2e j2
I Im 2
问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
~ 220V
电器 最高耐压 =300V
有效值 U = 220V
电源电压
最大值 Um = 2 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。
正弦波特征量之二 —— 角频率
i
t
T
描述变化周期的几种方法：
在工程应用中常用有效值表示幅度。交流电表指 示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。
标准电压220V，也是指供电电压的有效值。
热效应相当
有
效
值
T i2R dt I 2RT
概0
念
交流
直流
有效值
电量必须大写 如：U、I
则有 I 1 T i2dt
T0
（均方根值）
当 i Im sin t 时， 可得
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹 ...
3. 角频率 ω： 每秒变化的弧度 单位：弧度/秒
f 1 T
2 2 f
T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
正弦波特征量之三 —— 初相位
i 2I sin t
（t ）：正弦波的相位角或相位。
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t 说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相位间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
i1 i2
t
1
2
i1 Im1 sin t 1 i2 Im2 sin t 2 t 2 t 1 21
u2 2U2 sin t 2
U2
U
平行四边形法则
同频率正弦波的 相量画在一起，
构成相量图。
2
1
u=
U1
U U1 U2
2U sint
2
相量的复数表示—相量式
将复数 U放到复平面上，可如下表示：
j
U U a2 b2
bU
tan1 b
+1
a
a
U a jb U cos jU sin
U