第三章 万有引力定律及其应用 章末综合检测（粤教版必修2）(时间：90分钟，满分：100分)一、单项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1．有一个星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( )A.14B ．4倍C ．16倍D ．64倍解析：选D.设它们的密度为ρ，星球和地球的半径分别为R 1、R 2，在其表面质量为m的物体重力等于万有引力，即4mg ＝GM 星m R 21，mg ＝GM 地m R 22，而M 星＝ρ·43πR 31，M 地＝ρ·43πR 32，由此可得R 1＝4R 2，M 星∶M 地＝64∶1，D 正确．2．(2011年梅州联考)万有引力定律首次揭示了自然界中物体间的一种基本相互作用．以下说法正确的是( )A ．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的B ．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大C ．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供D ．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用解析：选C.物体的重力是地球的万有引力产生的，万有引力的大小与质量的乘积成正比，与距离的平方成反比，所以A 、B 错；人造地球卫星绕地球运动的向心力是万有引力提供的，宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是因为宇航员受到的万有引力全部提供了宇航员做圆周运动所需的向心力，所以C 对、D 错．3．(2011年高考福建卷)嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T ，已知引力常量为G ，半径为R 的球体体积公式V ＝43πR 3，则可估算月球的( )A ．密度B ．质量C ．半径D ．自转周期解析：选A.对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可得：GMm R 2＝m 4π2T2R ，故月球的质量M ＝4π2R3GT 2，因“嫦娥二号”为近月卫星，故其轨道半径为月球的半径R ，但由于月球半径未知，故月球质量无法求出，月球质量未知，则月球的半径R 也无法求出，故B 、C 项均错；月球的密度ρ＝M V ＝4π2R 3GT 243πR 3＝3πGT2，故A 正确．4．(2011年南通模拟)我国自行研制发射的“风云一号”、“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的，“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T 1＝12 h ；“风云二号”是同步卫星，其轨道平面就是赤道平面，周期为T 2＝24 h ；两颗卫星相比( )A ．“风云一号”离地面较高B ．“风云一号”每个时刻可观察到的地球表面范围较大C ．“风云一号”线速度较大D ．若某时刻“风云一号”和“风云二号”正好同时在赤道上某个小岛的上空．那么再过12小时，它们又将同时到达该小岛的上空解析：选C.因T 1<T 2，由T ＝4π2r3GM可得r 1<r 2，A 错；由于“风云一号”的轨道半径小，所以每时刻可观察到地球表面的范围较小，B错；由v＝GMr可得r1<r2，则v1>v2，C正确；由于T1＝12 h，T2＝24 h，则需再经过24 h才能再次同时到达该小岛的上空，D错．5．(2011年清远调研)“嫦娥二号”成功发射后，探月一时成为同学们的热门话题．一位同学为了测算卫星在月球表面附近做匀速圆周运动的环绕速度，提出了如下实验方案：在月球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，测出物体上升的最大高度h，已知月球的半径为R，便可测算出绕月卫星的环绕速度．按这位同学的方案，绕月卫星的环绕速度为( )A．v02hRB．v0h2RC．v02RhD．v0R2h解析：选D.绕月卫星的环绕速度即第一宇宙速度，v＝gR，对于竖直上抛的物体有v20＝2gh，所以环绕速度为v＝gR＝v202h·R＝v0R2h，选项D正确．6．据新华社莫斯科4月10日电，经过两天的飞行，搭载韩国首位宇航员以及两名俄罗斯宇航员的俄“联盟TMA－12”飞船10日与国际空间站成功对接．如果对接前宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船与前面空间站对接，飞船为了追上空间站，可采用的方法是( )A．飞船加速追上空间站，完成对接B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接C．飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接D．无论飞船如何采取措施，均不能与空间站对接解析：选B.飞船要追上空间站，飞船应先减速，使它的半径减小，速度增大，故在低轨道上飞船可接近或超过空间站，当飞船运动到合适的位置时再加速，使其轨道半径增大，速度减小，当刚好运动到空间站所在轨道时停止加速，则飞船的速度刚好等于空间站的速度，可以完成对接．选项B正确．二、双项选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有两个选项正确，全部选对的得6分，只选一个且正确的得3分，有选错或不答的得0分) 7．(2011年南京高一检测)关于人造地球卫星及其中物体的超重、失重问题，下列说法中正确的是( )A．在发射过程中向上加速时产生超重现象B．在降落过程中向下减速时产生失重现象C．进入轨道时做匀速圆周运动，产生失重现象D．失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的解析：选AC.超、失重是一种表象，是从重力和弹力的大小关系而定义的．当向上加速时超重，向下减速(a方向向上)时也超重，故A对B错．卫星做匀速圆周运动时，万有引力完全提供向心力，卫星及其内部的物体都处于完全失重状态，故C正确．失重的原因是重力(或万有引力)使物体产生了加速度，故D错．8．下面关于同步卫星的说法正确的是( )A．同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率就被确定B．同步卫星的角速度虽已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小，仍同步C．我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低D．同步卫星的速率比我国发射第一颗人造卫星的速率大解析：选AC.同步卫星和地球自转同步，即它们的周期(T)相同，设同步卫星绕地心近似做匀速圆周运动，所需向心力由卫星(m)和地球(M)间的万有引力提供；设地球半径为R，同步卫星高度为h ，因为F 引＝F 向，所以G Mm R ＋h 2＝m 4π2T 2(R ＋h )．得h ＝3GMT 24π2－R ，可见，h 一定．由GMm R ＋h 2＝m v 2R ＋h 得：v ＝GMR ＋h，可见v 一定．所以，选项A 是正确的．由于同步卫星的周期确定，即角速度确定，则h 和v 均随之确定，不能改变，否则不同步，所以选项B 是错的．由h ＝3GMT 24π2－R 可知，当T 变小时，h 变小，可见，第一颗人造卫星离地面的高度比同步卫星低，速率比同步卫星大，故选项C 对D 错．9．据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25 日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是( )A ．运行速度大于7.9 km/sB ．离地面高度一定，相对地面静止C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析：选BC.由题意知，定点后的“天链一号01星”是同步卫星，即T ＝24 h ，由GMmr 2＝m v 2γ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma ，得：v ＝GMr ，应小于第一宇宙速度，A 错误．r ＝3GMT 24π2，由于T 一定，故r 一定，离地高度一定，B 正确．由ω＝2πT，T 同<T 月，ω同>ω月，C 正确．a＝rω2＝r (2πT)2，赤道上物体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径．赤道上物体的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，D 错误．10．(2011年高考山东理综卷)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )A ．甲的周期大于乙的周期B ．乙的速度大于第一宇宙速度C ．甲的加速度小于乙的加速度D ．甲在运行时能经过北极的正上方解析：选AC.地球卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G Mm γ2＝m 4π2r T2，得T ＝2πr 3GM.r 甲>r 乙，故T 甲>T 乙，选项A 正确；贴近地表运行的卫星的速度称为第一宇宙速度，由G Mm r 2＝mv 2r 知v ＝GMr，r 乙>R 地，故v 乙比第一宇宙速度小，选项B 错误；由G Mm r 2＝ma ，知a ＝GMr2，r 甲>r 乙，故a 甲<a 乙，选项C 正确；同步卫星在赤道正上方运行，故不能通过北极正上方，选项D 错误．11．(2011年广州押题卷)我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图3－1所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下经椭圆轨道向月球靠近，并将与空间站在B 处对接．已知空间站绕月轨道半径为r ，周期为T ，引力常数为G ，下列说法中正确的是( )图3－1A ．图中航天飞机在飞向B 处的过程中，加速度逐渐减小 B ．航天飞机在B 处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速C ．根据题中条件可以算出月球质量D ．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小解析：选BC.航天飞机在飞向月球的过程中，由GM 月mr 2＝ma ，可知r 减小，a 增大，故A 错误；航天飞机在B 处由椭圆轨道进入圆轨道，必须点火减速，B 正确；由GMm r 2＝m 4π2T2r 得：M ＝4π2r 3GT 2，C 正确；但因不知空间站质量，不能算出月球对空间站的引力大小，D 错误．12．欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese 581c.这颗围绕红矮星Gliese 581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese 581运行的周期约为13天．假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确的是( )A ．飞船在Gliese 581c 表面附近运行的周期约为13天B ．飞船在Gliese 581c 表面附近运行时的速度大于7.9 km/sC ．人在Gliese 581c 上所受重力比在地球上所受重力大D ．Gliese 581c 的平均密度比地球平均密度小解析：选BC.因星球表面附近重力加速度：g ＝G M R 2，则g G g 地＝M G R 2M 地R 2地.由题意得g G ＝209g 地，所以g G >g 地；而在星球表面附近运行时的速度v ＝gR ，故v G >v 地，故B 、C 正确．三、计算题(本题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)13．(8分)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距为L .求双星的轨道半径之比、双星的线速度之比及双星的角速度．解析：设两星的轨道半径分别为R 1和R 2，线速度分别为v 1和v 2，它们做圆周运动的角速度为ω.如图所示，由于万有引力提供向心力，故Gm 1m 2L 2＝m 1ω2R 1① G m 1m 2L2＝m 2ω2R 2② 由①②两式相除，得R 1R 2＝m 2m 1. 又因为v ＝ωR ， 所以v 1v 2＝R 1R 2＝m 2m 1.由几何关系知：R 1＋R 2＝L ③ 联立①②③式解得ω＝G m 1＋m 2L 3.答案：m 2m 1m 2m 1 G m 1＋m 2L 314．(10分)(2011年潍坊质检)“嫦娥奔月”的过程可以简化为如图3－2所示：“嫦娥一号”升空后，绕地球沿椭圆轨道运动，远地点A 距地面高为h 1，在远地点时的速度为v ，然后经过变轨被月球捕获，再经多次变轨，最终在距离月球表面高为h 2的轨道上绕月球做匀速圆周运动．(1)已知地球半径为R 1、表面的重力加速度为g 0，求“嫦娥一号”在远地点A 处的加速度a ；(2)已知月球的质量为M 、半径为R 2，引力常数为G ，求“娥一号”绕月球运动的周期T . 图3－2解析：(1)设引力常数为G ，地球质量为M 1，“嫦娥一号”卫星的质量为m ，由牛顿第二定律有：GM 1mR 21＝mg 0① G M 1m R 1＋h 12＝ma ② 由①②解得：a ＝g 0R 21R 1＋h 12.(2)“嫦娥一号”绕月球运行时，有：G Mm R 2＋h 22＝ma ′a ′＝(R 2＋h 2)⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2解得：T ＝4π2R 2＋h 23GM答案：(1)g 0R 21R 1＋h 12(2)4π2R 2＋h 23GM15．(10分)在天体演变过程中，红巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星(电子被迫同原子核中的质子相结合而形成中子)，中子星具有极高的密度．中子星也在绕自转轴自转，某中子星的自转角速度为6.28×30 rad/s，若想使该中子星不因自转而被瓦解，则其密度至少为多大？(假设中子星是通过中子间的万有引力结合成球状星体，引力常数G ＝6.67×10 －11N·m 2/kg 2)解析：设中子星质量为M ，半径为R ，密度为ρ，自转角速度为ω. 在中子星表面取一质量微小的部分m .故中子星剩余部分的质量仍为M ，若要使中子星不被瓦解，即要求M 与m 间万有引力大于m 绕自转轴自转的向心力，则GMm R2≥mω2R ，又因为ρ＝M43πR 3， 所以ρ≥3ω24πG≈1.3×1014kg/m 3.答案：1.3×1014kg/m 316．(12分)宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落点之间的距离为L .若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落点之间的距离为3L .已知两落点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常数为G .求该星球的第一宇宙速度．解析：作两次平抛的示意图如图所示，h 为抛出点高度，x 1为第一次平抛的水平距离，x 2为第二次平抛的水平距离，则有：x 1＝v 0t ① x 2＝2v 0t ② 所以x 2＝2x 1③由几何图形知：x 21＋h 2＝L 2④x 22＋h 2＝(3L )2⑤由方程③④⑤可得h ＝13L ⑥在竖直方向上为自由落体运动，设该星球表面重力加速度为g ，h ＝12gt 2⑦由⑥⑦两式得g ＝2L3t2. 由近地卫星的万有引力充当近地卫星的向心力和牛顿第二定律有F 万＝mg ＝mv 2R可得该星球的第一宇宙速度v ＝gR ＝2LR 3t2＝1t23LR3. 答案：1t23LR3。