（2）分布的特点 ① 有界性 ② 单峰性 ③ 对称性 ④ 抵偿性
1 n lim i 0 n n i 1
2. 随机误差的正态分布特征 理论和实践都证明了大多数的随机误差都 服从正态分布的规律，其分布密度函数为：
f ( ) 1
2
e
2 ( 2 ) 2
f ( x)
第二节 直接测量误差的分析与处理
一、 随机误差的分析与处理 1. 随机误差的定义和分布特点 （1）定义 • 在相同的条件下对同一被测量进行多次重复测量， 误差的大小和符号的变化没有一定规律，且不可 预知，这类误差称为随机误差。 • 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微 小因素综合作用的结果。
2
3
0
e
32 / 2
1 dz 0.9973 370
在一般测量中，测量次数很少超过几十次， 因此可以认为大于 3 的误差是不可能出现的， 通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即
lm 3
当z=3时，对应的概率P=99.73%。 几个概念：把区间（ z , z ）称为置信区间，对 z 应的概率 称为置信概率， 称为 P P(Z Z ) 置信限，z称为置信因子， 称为显著性 1 P 水平或置信水平。
P( ) 2 2

1
0
e 1 / 2 dz 0.6828
1 3
当 z=2时，区间为[ -2σ，2σ]， 此时
P( 2 ) 2 2

2
0
e
22 / 2
1 dz 0.9545 22
当 z=3时，区间为[ -3σ，3σ]，此时
P( 3 )
2
P( a) P( z )
2
2
z
0
e
z2 / 2
dz 2( z )
( z ) 的。
( z )
函数
( z )
称为概率积分，不同的z对应不同
若某随机误差在 z范围内出现的概率为2 则随机误差超出此区间的概率为 1 2( z )
，
[例2-1] 计算z分别等于1、2、3时对应的置信概率P。 解：如图所示，当 z=1时，区间为[ -σ，σ]，此时
可以证明，均方根误差的估计值计算公式为：


1 n 1

i 1
n
( xi x ) 2
1 n 1

i 1
n
vi 2
(3) 算术平均值的均方根误差
如果在相同的条件下将同一被测量分成m 组，对 每组重复测量n次，则每组测量值都有一个平均值。由 于随机误差的存在，这些算术平均值也各不相同，而是 围绕真值有一定的分散性，即算术平均值与真值间也存 在着随机误差。用表示算术平均值的均方根误差，由概 率论中方差运算法则可以求出
x
i 1
n
i
n
i xi
xi 1 iFra biblioteki 1n
n
i
n
1 n lim i 0 n n i 1
由随机误差的抵偿性可知，有 故 n 时
x
(2) 均方根误差σ
均方根误差的定义式为
1 n 2 1 n lim i lim ( xi ) 2 n n n i 1 n i 1
率为
P ( a b)
b
1
a
2
e
2 /(2 2 )
d
考虑到正态分布密度函数的对称性，出现于区间
的概率为
P( a a ) P( a ) 2
a
a, a
d
1
0
2
e
2 /( 2 2 )
令 a z ，则 z a / ，
测量结果的表示方法 • 若以单次测量值表示测量结果X，有 X = 单次测量值±置信区间半长 (P=置信概率) 例如：X = 单次测量值±3 (P=99.73％) X = 单次测量值±2 (P=95.45％) • 若以算术平均值表示测量结果X，有 X = 算术平均值±置信区间半长 (P=置信概率) ˆ x (P=99.73％) 例如：X = ±3 ˆ x (P=95.45％) X = ±2
ˆx X = x ±t ( )
ˆ = x ± t ( ) n
(P=置信概率)
n 在有限次测量中，以表示算术平均值均方根误差的
估计值，有
x

x


n
3. 随机误差的工程计算
随机误差出现的性质决定了人们不可能准确地获得 单个测量值的真误差的值。我们所能做的只能是在一定 的概率意义下估计随机误差数值的范围，或者求得随机 误差出现在给定区间的概率。 对于服从正态分布的测量误差，出现于区间 a, b 内的概
1
2
e
(
( x )2 2 2
)
μ和σ确定之后，正态分布就完全确定了。正态分布密度函 数的曲线如图所示。从该曲线可以看出，正态分布很好地 反映了随机误差的分布规律。
（1）真值μ 设x1、x2 、……xn 为n次测量所得的值，则 算术平均值为
x x2 xn x 1 n
在实际测量中的子样容量通常很小（例如 n<10），应以t分布的置信系数 t ( ) 代替正态分 布的置信系数z来增大同样置信概率下的置信区间。 t分布的置信系数 t ( ) 与置信水平和自由度都有 关，即考虑了子样容量的大小，其数值可查表得 到。当n趋于无穷大时，t分布趋向于正态分布。 对于小子样，其测量结果最终应表示为
第一节 测量误差的概念 一、 测量误差的来源
（1）测量装置的误差 （2）环境误差 （3）方法误差 （4）人员误差 二、测量误差的分类 按照测量结果中存在的误差的特点与性质不 同，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大 误差
三、测量误差的表示
误差 + 真值 = 测得值 • 测量误差通常采用绝对误差和相对误差两种方式 来表示。 • 常见的绝对误差可以用真误差、剩余误差、最大 绝对误差、算术平均误差、标准误差、或然误差、 极限误差等方法表示。 • 绝对误差与根据需要和方便的取值之比值称为相 对误差。对应不同相比的取值，相对误差可用实 际相对误差、示值相对误差、引用相对误差、最 大相对误差、分贝误差等方法表示。