浅谈无理函数不定积分的求解方法摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。

这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。

对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。

本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。

同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。

为无理函数不定积分的求解提供一种思路。

关键字：无理函数不定积分计算方法Abstract:We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider.This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems.key words:irrational function indefinite integral method1.无理函数不定积分的求解方法通常情况下，我们对无理函数不定积分的求解通常都会先对无理函数部分做前置处理工作。

对无理函数全体构成无理函数域，我们通常用大体两种思想进行变换求解：有理化，或分离法。

这两种思想，若即若离，经常混合使用。

在这之下细化为四种变形：1.由函数单调性，及其定义域直接求解；2.利用基本不等式限定求解；3.利用三角函数变换求解；4.利用转换给定区间二次函数值域问题求解；从这四种细分的无理函数值域问题求解方式上，我们不难看出：平方法和换远法，这两者都是将无理函数转化为有利函数来求解；分离常数法和分离有界变量法，这两者都是通过将无理函数积分分解为可知范围有理函数积分的方法来求解的。

那么，我们就来看，由这两种思想主导的这几种方法，在无理函数不定积分求解上的方法变形与延伸：1.1凑微分法凑微分法，根据字面意思来看，就是视图通过对现有可用积分（即已知结果的积分）的知识，来通过拼凑组合的方式来实现对原有积分格式的变形。

形成我们可以利用已知结果积分求解的格式。

此方法的关键是根据被积函数的特点来寻找合适于题目的积分，并通过适当的方式来凑出该积分的原函数变形。

例1：求解积分(0)x >解：21112d ⎛⎫- ⎪==原式C C x==-+上面这道例题，我们就通过将原式中的将式子中的3dx x 单独拿出来并与积分中的dx 共同构成3211dx dx d x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得我们能够将211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭看作一个整体，以便于使用已知积分111a a dx a C x x --=-+⎰来对原式进行求解。

1.2倒变换法倒变换法常用于解决一些能够通过自变量假设取反，即1x u -=这种形式，化成第一种解法的题目来使用。

这种变换其实可以认为是第一种方法，凑微分法的一种变形。

但是，需要注意的是，使用这种方法后，一定要将原式中的dx 也做相应的代换，否则，将会导致结果错误。

同时，使用这种方法还需要注意的是，在用替换后的变量计算得出结果后，不要忘记将原变量替换回来，否则也会造成结果错误。

例2：求解积分4dx x ⎰ 解：令1x u -=，则21dx du u =-()12241u udu u --==⎰原式()()()3221222111123u u d u C ----=-=+⎰()322313x C x-=-+上面这道题，我们发现单纯从原式来看，题目是比较难以解决的。

但是，如果我们使用1x u -=，将原函数中的自变量x 替换掉，则原式就变为了第一种情况的111a a dx a C x x --=-+⎰这中已知函数格式，那么，接下来的解题过程变不再麻烦。

所以，本例中首先使用自变量倒换，来实现原函数化简。

1.3根式变换法除了上面这两种换原积分思想外，我们在面对一些无理函数不定积分根式的时候，常常也会将有特点的根式进行换原代换，来完成简化原函数为已知有理函数不定积分形式。

这种方法常常会用于一些根式特点明显，且多次重复出现的情况，我们来看例题：例3：求解积分 解：令6x t =，则56dx t dt =523261611t dt t t dt t t t ⎛⎫=-+- ⎪+=⎝⎭=⎰⎰原式326ln 132t t t tC ⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭=(6ln 1C ++=很明显，这种方法也可以看作是凑微分法的变形。

的一系列运看作一个整体的话，将会明显简化原函数。

所以，我们假设6x t =，并依次来对原函数变形。

将原函数转化为5326t dt t t +⎰，结合分部积分的思想（即拆分，总结随后，此处只是利用分部积分的思想），来对原函数进行简单拆分，求解。

1.4分部积分法分部积分，顾名思义就是将原函数拆开为各个部分，来分别进行积分的过程。

分部积分法主旨，就是通过将原函数拆分为一个一个的可单独求解积分，通过对每一个小块的积分的求解求和，来得到原函数积分对应结果。

这种方法一般都会利用公式udv uv vdu =-⎰⎰，来完成需求。

通常用于分母中出现()2x a ±，且分子较为复杂的时候使用。

例4：求解积分1x +解：11x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=原式1d x +=ln 1x C =++ 例题4中，通过对原函数的观察，我们发现原函数具有分子复杂，分母满足()2x a ±形式。

由此，我们可以推断，该函数一定可以使用分部积分方法化简。

我们取u ()211v x =+，则11dv d x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭。

随后调用公式udv uv vdu =-⎰⎰即可。

1.5分项积分法所谓分项积分的方法，便是通过对被积函数各项的适当拆分，来将其化为分部积分的无理函数不定积分求解方法。

这种方法可以看作是分部积分方法的变形。

通常情况下，当分母仅仅含有一个因式，或者说近景是一个因式的幂方的时候，我们为了将其分子凑成该因式的组和，常常会对分子进行适当的操作（一般为加减，但不局限于加减）来对其进行变形，以便于分部积分。

例5：求解积分2解：2==原式1ln2x C ⎡=++⎢⎣上例中，我们发现原函数分母为根号中包含自变量幂方且与分子配套的形式，符合使用分项积分法的条件。

我们为了使分子构成分母根号下部分，我们对分子进行加减一个单位的操作，使得原式变为2。

进而进行拆分求解操作。

2.用欧拉代换法求解无理函数不定积分2.1欧拉代换法欧拉代换是一种比较复杂的代换思想及数学操作。

欧拉代换的一般形式主要是对常见二次三项式2ax bx c ++的运算。

通常情况下，我们将二次三项式2ax bx c ++分为一下几种情况进行讨论： 1.若0a >t =±；2.若0c >xt =3.若20ax bx c ++=有两个相异实根1x 和2x 时，我们设()21ax bx c t x x ++=-或()2t x x -，则t =或t = 根据这几种分法，我们一般解题时，首先需要做的一步就是判断对应复杂二次三项式2ax bx c ++无理函数不定积分的所属类型。

然后再根据具体的情况，选取三种类型中的合适者，进行解题。

下面，我们来看例题：例6：求解积分解：2223ax bx c x x ++=+-，其中10a =>，我们取第一种欧拉变换x t =-，则有()2321t x t +=-，()222321t t dx dt t --=- 则：()()()222332121t t t t t t --+=-=---()()()()()22223212132123t t t t dt t t t t ----=⋅⋅+----⎰原式223dt C t ==+⎰C =C =上面这种做法，是我们通过10a =>条件直接判断，采用第一种情况对应做法来完成该复杂二次三项式2ax bx c ++无理函数不定积分求解的。

但是，通过仔细观察我们发现，上面这道题目中2223ax bx c x x ++=+-可以拆分为()()31x x -+，即原二次三项式223x x +-有两个相异实根。

那么，除采用第一种情况下的解题技巧外，我们还可以使用第三种情况下的解题技巧。

下面，我们来看使用第三种情况下解题技巧，来解答本题：解：()()222331ax bx c x x x x ++=+-=-+有相异实根3x =与1x =-，我们取第三种欧拉变换。

令()22231ax bx c x x t x ++=+-=+，则t =2231t x t+=- 有：()2281tdx dt t =-241t t =- 则：()222222118123431t t t dt dt t t tt --=⋅⋅=++-⎰⎰原式C =+C =通过上面的运算，我们发现，欧拉变换法解决复杂无理函数不定积分，需要判断并使用对应方法这点，有些过于复杂。