其中 a n 0 ， bm 0 .
(1) n m , ——真分式； ( 2) n m ,——假分式；
2015-2-11 2
3、有理函数的表示
(1) 假分式
3
多项式除法

多项式 真分式 ;
x x 1 1 如 x 2 2 x 1 x 1
( 2) 真分式
待定系数法

部分分式之和 ：

x3 6 5 dx dx 2 x 5x 6 x 2 x 3
6 ln(x 3) 5 ln(x 2) C .
6
2015-2-11
例2

1 dx 2 x( x 1)
x 1 ln C. x 1 x 1
A B C 1 , 2 2 x ( x 1 ) x x 1 ( x 1)



2015-2-11

1 1 x dx arctan 20 C 2 2 a a a x
例7 求积分
1
x 1 e2 x e3 x e6
dx.
6 解 令 t e x 6 ln t , dx dt , t 1 1 6 dt dx 3 2 x x x 1 t t t t 1 e2 e3 e6 1 3 3t 3 6 6 dt dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
1 2 1 x ln(1 x 2 ) C 2 2
2015-2-11 16
•分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因 式分解, 然后化成部分分式再积分.
例1 2 求 例
x 3 dx . 2 x 5x 6 6 5 5 x 3 dx 6 x 3 解 ( ( )dx )dx 解 2 dx xx 3 x 5x 6 (x 2)(x 3) 3x 2 x2 6 5 d ( x 2) dx d ( x 3) dx x3 x2
比较系数
a, A, B, C , D.
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9
真分式
P( x) Q( x )
A1, 1 1 A1,1 { b0 x 1 ( x 1 ) 1
Ak , k Ak ,1 x k ( x k ) k
B1, 1 x D1, 1 B1,1 x D1,1 2 x p1 x q1 ( x 2 p1 x q1 ) 1
Mx N 特殊地：k 1, 部分分式为 2 ; x px q
2015-2-11 8
x2 a Ax B Cx D ( x 1)( x 2 2 x 2)2 ( x 1) ( x 2 2 x 2) ( x 2 2 x 2)2
x 2 a( x 2 2 x 2)2 ( Ax B)( x 2 2 x 2)( x 1) (Cx D)( x 1)

2 1 1 2 ln | 1 2 x | ln(1 x ) arctan x C 5 5 5 2015-2-11
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•分母是二次质因式的真分式的不定积分
x3 dx ? 例6 求 2 x 2 x 10 解 ( x 2 2 x 10) 2 x 2

分母因式分解

x3 ( x 2)( x 3)
部分分式之和
A B , x2 x3
通分后分子相等

x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A B 1, A 5 比较系数 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
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k （3）分母中因式 ( x 2 px q ) ，对应的部分 分式为
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
其中 M i , N i 都是待定的常数( i 1,2,, k ) .
k ( x a ) （2）分母中因式 ，对应的部分分式为 A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是待定的常数.
A ; 特殊地：k 1, 部分分式为 xa 2015-2-11
4
例1
x3 x2 5x 6
M 1 1 2 2 2 2 n d (t a ) b 2 2 n dt 2 (t a ) (t a )
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M 1 b 2 dt . 2 2 n1 2 n 2( n 1)(t a ) (t a )
dt 其中 I n 2 及 I1 推出。 2 n 可由递推公式 (t a )
18
4 2 1 x 1 5 5 5 (1 2 x )(1 x 2 ) 1 2 x 1 x 2

(1 2 x )(1 x
1
2
)
dx
4 2 1 x 5 dx 5 2 5dx 1 2x 1 x
1 d ( x 2 1) 2
2 x 1 1 2 1 d (1 2 x ) 2 dx 2 dx 5 1 x 5 1 x 5 1 2x

d ( x 2 2 x 10) x 2 2 x 10
1 2 x2 68 2x x3 x 2 2 x 10dx 2 x 2 2 x 10dx 1 2x 2 4 dx dx 2 2 2 x 2 x 10 x 2 x 10 1 1 d ( x 2 2 x 10) 4 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 9 2 x 2 x 10 4 x 1 1 2 C ln( x 2 x 10) arctan 2 3 3
1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx.
令 x 0, A 1; 令 x 1, C 1;
（ 综 合 法 ）
比较二次项的系数， 得 0 A B, B A 1.
1 1 1 1 . 2 2 x x 1 ( x 1) x ( x 1)
1 A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x )
4 2 1 x 1 5 5 5 2 2015-2-11 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x 2
整理得1 ( A 2B) x 2 ( B 2C ) x C A 4 2 1 A 2B 0 B 2C 0 A , B , C 5 5 5 A C 1
p 令 x t 2
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p2 2 令 q a 4
12
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
2 2
Mx N Mt b,
p Mp 则 a q , b N , 4 2 Mx N 2 dx n ( x px q )
Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
15
•假分式的不定积分
x 例1 求 2 dx 1 x
解
2 22 x3 x ( x 1) x x ( 1) xx 1) 2 2 1 x 1 x2 1 x x x 1 x2
3
分项
x3 x 1 2 1 1 22 ( x ) dx dx x dx d ( x 1) 1 x2 1 x 2 2 2 1 x 2
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3
P( x ) 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x )
（1）对分母Q( x )在实数系作标准分解： b0 ( x 1 )1 ( x k ) k ( x 2 p1 x q1 )1 ( x 2 ph x qh ) h
（其中 x 2 pi x qi , i 1,, h 为不可约因式 )
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（ 比 较 系 数 法 ）
5
或
由 x 3 A( x 3) B( x 2),
（ 赋 值 法 ）
令 x 3, 得 3 3 B(3 2), B 6;
令 x 2, A 5.
x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
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M ( 2 x p) M p 2N / M dx dx 2 2 2 2 x px q 2 ( x p / 2) q p / 4
可求！
( 2) n 1,
2
Mx N ( x 2 px q )n dx
2 2
p p x px q x q , 2 4
Mx N (C ) 2 n; ( x px q )
Mx N dx , 前两类易求，现讨论第三类积分 2 n ( x px q ) Mx N (1) n 1, x 2 px q dx
M ( 2 x p) p 2 N / M dx 2 2 x px q
Bh, 1 x Dh, h Bh,1 x Dh,1 2 2 h } x ph x qh ( x ph x qh )
（其中各系数待定）；
2015-2-11 10
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
A （A）多项式； ( B ) n; ( x a)
6 ln x 3 5 ln x 2 C