2
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
P{ X k} Ckn pkqnk , k 0,1,2, , n (q 1 p)
E( X )
n
k
C
k n
p
k
q
n
k
k0
n
k
k 1
n! k!(n
k )!
pk q nk
n
np
(n 1)!
p q k 1 n1(k 1)
k1 (k 1)!(n k )!
所以 D( X ) np(np p 1) (np)2 np(1 p) .
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的
数学期望和方差.
设 X ~ B ( n, p )，X表示n重伯努利试验中的成功次数.
设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2,…,n
则
Xi
P
10
p 1 p
与 2X 的关系是则( ).
A.有相同的分布
B.数学期望相等
C.方差相等
D.以上均不成立
解 选(B).
11

例3 设事件A在每次试验中出现的概率为0.5，试利 用切比雪夫不等式估计1000次独立试验中，事件A出 现450到550之间的概率．
解 设X表示事件表示在1000次独立试验中出现的次数，
则 X ~ B(1000, 0.5) ,
2q p2
p
1 q p2
，
所以
1 q D( X ) p2
1 p2
q p2
1 p p2 .
9
xk
1
，x 1
k0
1 x
逐项求导， kxk1
k 1
1 (1 x)2
，x
1
再逐项求导， k(k
k2
1) x k2
2 (1 x)3
，
x
1
令 x q，
k(k 1)qk2
k2
2 (1 q)3
n1
np
(n 1)!
p i q n1 i
i0 i!(n 1 i)!
令i k1
np( p q)n1 np .
3
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
P{ X k} Ckn pkqnk , k 0,1,2, , n (q 1 p)
E( X ) np ，D( X ) np(1 p)
a ba
1 b3 a3 b2 ab a2 ，
ba 3
3
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 (b a)2 . 12
14
2. 指数分布 X ~ E( ) .
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
7
4. 几何分布 P{X k} (1 p)k1 p , k 1,2,
由无穷级数知识知，
k0
xk
1 1 x
，x
1
逐项求导， kxk1
k 1
1 (1 x)2
，x
1
令 x q 1 p ，(0 q 1)
有
k 1
kq k 1
1 (1 q)2
1， p2
所以
E( X )
kqk1 p
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b
1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b
.
ba 2
2
13
二、常见连续型分布的数学期望和方差
1. 均匀分布 X ~ U(a, b) .
E( X ) a b ，D( X ) (b a)2
2
12
E( X 2 ) x2 f ( x)dx b x2 1 dx
P{ X k} k e , k 0,1,2, , ( 0)
k!
E( X ) ，D( X )
E( X 2 ) k 2 k e k k e
k0 k!
k1 (k 1)!
k
(k 1)
e
k2
(k 1)!
k e
k1 (k 1)!
2
，
所以 D( X ) 2 2 .
k 1
p kqk1
k 1
p
1 p2
1 p
.
8
4. 几何分布 P{X k} (1 p)k1 p , k 1,2,
E( X ) 1 p
，D(
X
)
1
p p2
E( X 2 ) k 2qk1 p k(k 1)qk1 p kqk1 p
k 1
k2
k 1
2 (1 q)3 q p
1 p
5
3. 泊松分布 X ~ P()
P{ X k} k e , k 0,1,2, , ( 0)
k!
由无穷级数知识知， ex
xk ,
x (, )
k0 k!
E( X ) k k e k e
k0 k!
k1 (k 1)!
e i e e .
i0 i!
6
3. 泊松分布 X ~ P()
E( X 2 )
n
k 2Ckn
k0
pkqnk
n
np k
k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k)!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k)!
p
k
1
q
n
k
np[(n 1) p 1]，
第三节
1
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
EX 1000 0.5 500，DX 1000 0.5 0.5 250．
由切比雪夫不等式，
P{
X
}
2 2
P{450 X 550} P{| X 500 | 50}
1
DX 502
1
250 2500
0.90 .
12
二、常见连续型分布的数学期望和方差
1. 均匀分布 X ~ U(a, b) .
E( X i ) p , D( X i ) p(1 p) ,
而 X= X1+X2+…+Xn ， Xi 相互独立，
n
n
所以 E( X ) E( X i ) E( X i ) np .
i 1
i 1
n
n
D( X ) D( X i ) D( X i ) np(1 p) .
i 1
i 1
.
10
例1 设X服从二项分布B(n,p),则有 ( ).
A. E(2 X 1) 2np B. E(2 X 1) 4np 1 C. D(2 X 1) 4np(1 p) 1 D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解 选(D).
例2 设随机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y