合肥一中2012-2013学年第二学期期中考试高 一 年 级 数 学 试 卷（考试时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列不等式正确的是( )A ．若a b >，则a c b c ⋅>⋅B ．若a b >，则22a cbc ⋅>⋅C. 若a b >，则11a b< D. 若22a c b c ⋅>⋅则a b > 2. 607510,ABC A B a =在中，＝，＝，则c 边的长度为（ ）A ．52B ．102C.106D ．563. 若14,36,x y ≤≤≤≤　则yx的取值范围是.（ ） A ．12[,]33B ．14[,]63C. 14[,]33 D ．24[,]33.4.在△ABC 中，∠A =60°,a =6,b =7满足条件的△ABC （ ）A. 不能确定B. 无解C. 有一解D. 有两解 5．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9。

A ．98 B ．99C ．96D ．976.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = （ ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7. 下列不等式一定成立的是A. )0(412>>+x x x B. ),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C. )(212R x x x ∈≥+ D. )(1112R x x ∈>+8.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边。

若2cos b a C =， 则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且m S x =，2m S y =，3m S z =，则( ) A ．x y z += B ．2y x z =⋅ C ．22x y xy xz +=+ D ．2y x z =+10. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°,公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于（ ）A.12B.16C.9D.16或9二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式32x x -+＜0的解集为____________ 12. 在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =_________ 13. 两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则66a b = 14.若正实数,26,x y x y xy xy ++=、满足则的最小值是_________15．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。

三、解答题（第16、17、18题各7分，19、20、21题各8分，共45分）16.设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩求目标函数z=2x+y 的最大值及此时的最优解17.已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项;（Ⅱ）求证：122311111n n a a a a a a ++++< 18.在△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足222()4S a c b =+-。

（Ⅰ）求角B 的大小；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。

19.各项均为正数的数列{}n a 中， n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈,有2221n n n S a a =+-.（Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ） 记2n n n b a =⋅求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 某兴趣小组测量渡江战役纪念馆前的胜利之塔的高度Ｈ（单位:m ）如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=2m,仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

（Ⅰ）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.21，tan β=1.17，请据此算出H 的值； （Ⅱ）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到胜利之塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若胜利之塔的实际高度为60m ，试问d 为多少时，α-β最大？21. 设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若12,23p q ==-，求3b ； （Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（III ）是否存在p 和q ，使得41()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如不存在，说明理由.高 一 年 级 期 中 考 试 数 学 答 题 卷1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题 （每题3分，共计15分）11.__________________ 12.____________________ 13._______________ 14.__________________ 15.____________________ 三、解答题（共45分） 16.（本题7分）参考答案 1-5DCBDB 6-10ACCCC {}23x x -<< 12.6 13. 1423 14. 18 11.15.4、5、3216.最优解为（2，1），z 取得最大值5 17.（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +1812dd++，＝解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n .ＡＥＣＤＢαβ 班级 准考证号----封----------------线---------------内--------------不------------准---------答---------题--------------------------------------座位号作图区（II ）122311111111111223(1)1n n a a a a a a n n n +++=++=-<⨯⨯++18.（I ）B=3π(II)23sin sin sin 4B AC == 19. （I ）令11,1(n a ==得另一负值舍）2123021()213242(1)2(1) 2 223242(1)2(2)(1)(2)22(222)(1)22n n nn n nnn II T n T n n T n --=⨯+⨯+⨯+++=⨯+⨯+⨯+++-=⨯++++-+=n 得：－T20.（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan H AB α=，tan h BD β=。

AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H hβαβ-=，解得：tan 2 1.2160.5()tan tan 1.21 1.17h H m ααβ⨯===--。

因此，算出的胜利塔的高度H 是60.5m 。

（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H hd AD DB d αβ-====， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+ ()2()H H h d H H h d-+≥-（当且仅当()60582870d H H h -=⨯=时取得“＝”时，取等号） 故当2870d =时，tan()αβ-最大。

因为02πβα<<<，则02παβ<-<，故所求的d 是2870d =m 。

21.（Ⅰ）由题意，得1223n a n =-，解12323n -≥，得223n ≥. ∴12323n -≥成立的所有n 中的最小整数为8，即38b =. （Ⅱ）由题意，得21n a n =-，对于正整数，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈；当2m k =时，()*1m b k k N =+∈. ∴()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. ∵41()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有441m qm m p-<≤+，即()41p q p m q --≤-<-对任意的正整数m 都成立. 当410p ->（或410p -<）时，得41q m p <--（或41p qm p +≤--）， 这与上述结论矛盾！ 当410p -=，即14p =时，得104q q --≤<-，解得104q -≤<.∴ 存在p 和q ，使得41()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是14p =，104q -≤<.。