二次函数中的最值问题重难点复习一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2()y a x h k =-+的形式 ()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. 二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。

一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。

自变量x 取任意实数时的最值情况 （1）当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值； （2）当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． （3）二次函数最大值或最小值的求法．第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值；第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．2.自变量x 在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a==-； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例)①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++；②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++；③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++. [2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧，在x m =处取最大值2max y am bm c =++ 小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910 另法：2(0)y ax bx c a =++≠当m x n ≤≤（其中m n <）的最值： 求出函数的对称轴02b x x a==-，在以后的数学学习中 ①若0m x n ≤≤，则分别求出0,,m x n 处的函数值()f m ，0()f x ，()f n ，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；②若00x m x n <>或时，则求出,m n 处的函数值()f m ，()f n ，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。

基础巩固:将下列函数写成顶点式,并写出对称轴和 顶点坐标 :(1) 2245y x x =-+；(2) (1)(2)y x x =-+ (3)2235y x x =-+ (4)y 12++=x x (5)242-+-=x x y (6)241y ax ax =+-例1.求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．（3）2241y x ax =-+ （4）22y ax x =- (5)2846y x x =-+ 例1（1） 最小值为498- 无最大值；（2）最大值为254，无最小值. 练习: 求下列函数的最大值或最小值(1)241y x x =-+(2)224y x x =--(3)22y x ax =- (4)224y ax x a=--+ (5)2y =的最小值是_________.例2.、如图，抛物线22y x x p =--与直线x y =交于点A （-1，m ）、B （4，n ），点M 是抛物线上的一个动点，连接OM（1）求m ，n ，p 。

（2）当M 为抛物线的顶点时，求M 坐标和⊿OMB 的面积；（3）当点M 在直线AB 的下方且在抛物线对称轴的右侧，M 运动到何处时，⊿OMB 的面积最大。

练习 ：1．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，且二次函数的最小值为﹣4，（1）求二次函数的解析式；（2）若M （m ，n ）（0＜m ＜3）为此抛物线上的一个动点，连接MC 、MB ，试求当m 为何值时，△MBC 的面积最大？并求出这个最大值考点： 二次函数综合题．专题： 代数几何综合题．分析： （1）根据点A 、B 的坐标求出对称轴解析式，从而得到顶点坐标，然后设顶点式解析式，把点A 的坐标代入计算即可得解；（2）根据点B 、C 的坐标求出OB 、OC 的长度，利用勾股定理求出BC ，再求出直线BC 的解析式，根据三角形的面积，当平行于BC 的直线与抛物线只有一个交点时△MBC 的面积最大，再根据平行直线的解析式的k 值相等设出平行线的解析式，然后与抛物线联立消掉y 得到关于x 的一元二次方程，然后利用根的判别式△=0求出直线的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出点M 到BC 的距离，然后求解即可；（3）根据抛物线的解析式设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），根据抛物线的对称性以及点P 在点Q 的左侧，表示出EF=2（1﹣x ），然后根据正方形的四条边都相等列式，再分①x ＜﹣1时点P 的纵坐标是正数，②﹣1＜x ＜1时，点P 的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号，解方程求解即可．解答： 解：（1）y=x 2﹣2x ﹣3；（2）不难求出，直线BC 的解析式为y=x ﹣3，S △MBC =×3×=； 2．已知：如图，抛物线y=ax 2+3ax+c （a ＞0）与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为（1，0），OC=3BO ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；．解答： 解：（1）∴抛物线的解析式为：（2分）（2）∴AC 的解析式为：（3分）∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC == 设，当x=﹣2时，DM 有最大值3此时四边形ABCD 面积有最大值例3.(1) 当14x ≤≤时，求函数241y x x =-+的最大值和最小值．(2)当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例2.(2)当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-巩固练习(1) 函数2241y x x =+-在区间30x -≤≤ 上的最大值是_______，最小值是_______.（2）已知302x ≤≤，求函数f x x x ()=++21的最值. 最小值为1，最大值为194 (3) 函数2331y x x =--在区间10x -≤≤ 上的最大值是_______，最小值是_______.（4）函数y x x =-+-242在区间03x ≤≤ 上的最大值是_______，最小值是_______. 2， -2(5) 03x ≤≤,求函数(2)y x x =--的取值范围．(6) 函数2y x x a =--+在区间31x -≤≤- 上的最大值是_______，最小值是_______.(a 为常数)例4. 已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最值． (1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-练习 ：求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最值(t 为常数)． 【课后作业】1.抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = 时，图象的对称轴是y 轴；当m = 时，图象的顶点在x 轴上；当m = 时，图象过原点． 4 14或2，32 2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________ ．216l 3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+；(2) (1)(2)y x x =-+． (1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值94，无最小值． 4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．当34x =时，min 318y =；当2x =-时，max 19y =． 5．函数y 12++=x x 在区间11x -≤≤上的最小值和最大值分别是（ ） B)(A 1,3 )(B 3,34 （C ）1,32- （D ）1,34- 6．函数242-+-=x x y 在区间14x ≤≤上的最小值是（ ）C)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 27．函数5482+-=x x y 的最值为 （ ） B )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值8.已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，那么m 的值为 .109．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．5y ≥-10．求函数3y =56x =时，min 36y =-；当23x =或1时，max 3y =． 11.已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；2) 当a 为常数时，求函数的最大值． .(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =． (2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-．12．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？当54t =-时，min 0y =． 13．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．13．当0t ≤时，max 22y t =-，此时1x =；当0t >时，max 22y t =+，此时1x =-．。