2018年浙江专升本高数考试真题答案1、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
1、设，则在内（ C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,,sin )(x x xx x x f )(x f )1,1(-A 、有可去间断点B 、连续点C 、有跳跃间断点D 、有第二间断点解析：1sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xxx f x x f x x x x ，但是又存在，是跳跃间断点)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→≠ 0=∴x 2、当时，是的（ D ）无穷小0→x x x x cos sin -2x A 、低阶B 、等阶C 、同阶D 、高阶解析：高阶无穷小02sin lim 2sin cos cos lim cos sin lim0020==+-=-→→→xx x x x x x x x x x x x ⇒3、设二阶可导，在处，，则在处（ )(x f 0x x =0)(0<''x f 0)(lim 0=-→x x x f x x )(x f 0x x =B ）A 、取得极小值B 、取得极大值C 、不是极值D 、是拐点())(0,0x f x 解析：，则其，0000)()(lim)(,0)(lim00x x x f x f x f x x x f x x x x --='∴=-→→ 0)(,0)(00=='x f x f 为驻点，又是极大值点。
0x 000)(x x x f =∴<'' 4、已知在上连续，则下列说法不正确的是（ B ）)(x f []b a ,A 、已知，则在上，⎰=badx x f 0)(2[]b a ,0)(=x f B 、，其中⎰-=xxx f x f dt t f dx d 2)()2()([]b a x x ,2,∈C 、，则内有使得0)()(<⋅b f a f ()b a ,ξ0)(=ξf D 、在上有最大值和最小值，则)(x f y =[]b a ,M m ⎰-≤≤-b aa b M dx x f a b m )()()(解析：A.由定积分几何意义可知，，为在上与轴围成0)(2≥x f dx x f ba)(2⎰)(2x f []b a ,x 的面积，该面积为0，事实上若满足⇒0)(2=x f )(x f)(0)(0)(b x a x f dx x f b a≤≤=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⎰非负连续B.)()2(2)(2x f x f dx x f dxd xx -=⎰C.有零点定理知结论正确D.由积分估值定理可知，，，()b a x ,∈M x f m ≤≤)(则)()()()(a b M dx x f a b m Mdx dx x f mdx baba b a b a -≤≤-⇒≤≤⎰⎰⎰⎰5、下列级数绝对收敛的是（ C ）A 、B 、C 、D 、∑∞=-+-111)1(n n n ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ∑∞=+139cos n n n ∑∞=11n n 解析：A.，由发散发散1111lim =+∞→nn n ∑∞=11n n 11+⇒n B.，由发散发散011lim )1ln(lim )1ln(11lim =+=+=+∞→∞→∞→n n n n n n n n ∑∞=11n n ∑∞=+⇒1)1ln(1n n C.，而=1，由收敛收敛919cos 22+≤+n n n232191lim n n n +∞→∑∞=1231n n ⇒912+n ⇒收敛9cos 2+n n D.发散∑∞=11n n 2、填空题6、axx ex a =+→1)sin 1(lim 解析：axa x a xx a x a xx x x e eeex a x x ====+⋅+++→→→→1cos sin 11lim )sin 1ln(lim )sin 1ln(11000lim )sin 1(lim 7、，则3sin )23()3(lim=--→xx f f x 23)3(='f解析：3)3(22)3()23(lim 2sin )23()3(lim00='=---=--→→f xf x f x x f f x x 8、若常数使得，则b a ,5)(cos sin lim 20=--→b x a e xxx 9-=b 解析：5)(cos lim )(cos sin lim 2020=--=--→→ae b x x b x a e x x x xx 所以根据洛必达法则可知：1,01==-a a 212cos lim 2)(cos lim00bb x x b x x x x -=-=-→→9,521-==-b b9、设，则⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(11==t dx dy 解析：，2221)1(11111t t t tt dtdxdt dydx dy++=++-=11==t dx dy 10、是所确定的隐函数，则)(x f y =0122=--y x 32222y x y dx y d -=解析：方程两边同时求导，得：，，022='-y y x yxy ='方程同时求导，得：，将带入，022='-y y x 0)(12=''-'-y y y yxy ='则得，，0)(12=''--y y y x 32232221y x y y x y y dx y d -=-=''=11、求的单增区间是21xxy +=)1,1(-解析：2222222)1(1)1(21x x x x x y +-=+-+='令，则，0>'y 12<x 11<<-x 12、求已知，则 ⎰+=C e dx x f x 2)(=⋅∑==∞→(1lim 10n kf nn k n 1-e 解析：1)()()()(1lim101010102-=+===⋅⎰⎰∑==∞→e C e dx x f dx x f n k f nx n k n13、=⎰+∞dx x x e2)(ln 11解析：1ln 1ln )(ln 1)(ln 122=-==∞++∞+∞⎰⎰ee exx d x dx x x 14、由：围成的图形面积为2x y =2,1==x y 34解析：34)31()1(212132=-=-=⎰x x dx x A 15、常系数齐次线性微分方程的通解为（为任意常02=+'-''y y y xe x C C y )(21+=21C C 数）解析：特征方程：，特征根：0122=+-r r 121==r r 通解为（为任意常数）x e x C C y )(21+=21C C 三、计算题 （本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）16、求)sin 1ln(lim0x e e xx x +--→解析：22lim sin 2lim )sin 1ln(1lim )sin 1ln(lim 00200===+-=+-→→-→-→xx x x x e e x e e x x x xx x x x 17、设，求在处的微分xx x y )sin 1()(+=)(x y π=x 解析：xx x y )sin 1()(+=)sin 1ln(ln x x y +=x x x x y sin 1cos )sin 1ln(y 1+++='dxx xxxx x )sin 1](sin 1cos )sin 1[ln(dy ++++=将代入上式，得微分π=x dxdy π-=18、求⎰-π502cos 1dxx 解析：⎰-π502cos 1dx x ⎰=π50|sin |dxx⎰⎰⎰⎰⎰+-++-+=ππππππππ43542320sin )sin sin )sin sin xdxdx x xdx dx x xdx （（π10|cos |cos |cos |cos |cos 54433220=-+-+-=πππππππππx x x x x 19、求dxx ⎰arctan 解析：，2t x t x ==，则令tdtdx 2=⎰2tan arc tdt td t t t tan arc tan arc 22⎰-=dt tt t t 22211tan arc +-=⎰⎰+-+-=dt tt t t 222111tan arc ⎰+--=dt tt t （22111tan arcct t t t ++-=tan arc tan arc 2cx x x x ++-=tan arc tan arc 则则则20、dx xxx x x ⎰++-11-41cos 45）（解析：为奇函数，41cos x xx +该式不代入计算∴45452t x x t -=-=，则令tdtdx 21-=dtt t t )21(145132--=⎰该式⎰-=312)581dt t （ 61|)31581313=-=t t （21、已知在处可导，求⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,2)(x ax x b x x f 0=x ba ,解析：)(lim ,0)(lim )0()(lim )(lim 0)(0)(00=∴====∴=∴=-+-+→→→→b bx f x f f x f x f x x f x x f x x x x 处连续在处可导在)(lim )(lim 0x f x f x x '='-+→→ ax ax x f x x =--+='++→→0)1ln(lim )(lim 002002lim )(lim 00=--='--→→x x x f x x 2=∴a 22、求过点且平行于又与直线相交的直线方程。
)1,2,1(-A 0732=-+-z y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=t z t y t x 231直线过点，因为直线平行于平面，所以，，)1,2,1(-A n S ⊥)1,3,2(-=n设两条直线的交点，所以，)2,3,1(t t t P +-)12,1,(-+==→t t t PA S 所以，，，所以，012332=-+--t t t 4=t )8,7,3(P )7,5,4(=→PA 所以直线方程为。
715241-=-=+z y x 23、讨论极值和拐点13231)(23++-=x x x x f 解析：13231)(23++-=x x x x f （1）的极值)(x f 34)('2+-=x x x f 令，则0)('=x f 3,121==x x 列表如下：x），（1∞-1），（31 3），（∞+3所以极大值为，极小值3713231)1(=++-=f 1)3(=f （2）的拐点)(x f 令 则42)(-=''x x f 0)(=''x f 2=x 列表如下：拐点为。