上海市建平中学2019-2020学年度高三第一学期期中考试2009—学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）.11.12一、填空题：本题有14小题，每小题4分，共56分 1．已知集合{}{}{}12,3,4,5,2445U A B ===，，，，，则()U A C B ⋂=2．函数2y x =-的递减区间为 3．已知z C ∈，且1()1z f z z -=+，则()f i = 4．函数y =2,0,0x x x x <⎧⎨≥⎩的反函数是y =5．已知圆的极坐标方程为2sin ρθ=，则圆心的极坐标为6．已知直线l 的方程为2413x ty t=-⎧⎨=+⎩，则直线l 的斜率为7．设函数(0,1)x y a b a a =->≠的图象过点()1,2，函数log ()(0,1)b y x a b b =+>≠的图像过点()0,2,则a b +等于8．若不等式11x a --≤的解集非空，则整数a 的最小值是 9．函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，则2m n +的最小值为10．已知关于x10t -=有实数解，则实数t 的范围是11．已知(21)41()log 1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是12．若关于x 的方程(2008)()0+-=f x f a x 恰有个根，且所有根的和为，则实数a 的值为 13．已知函数()1x f x x =+，规定：123()()()()(,)mn m a f f f f n m N n n n n=++++∈， 且12(,)m m m m n n S a a a n m N =+++∈，则20102010S 的值是14．若存在实数R a ∈，使得不等式 0x x a b -+< 对于任意的]1,0[∈x 都成立，则实数b 的取值范围是二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分15．不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞16．若()y f x =是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()y f x =是奇函数”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．满足方程()f x x =的根x 0称为函数()y f x =的不动点，设函数()y f x =，()y g x =都有不动点，则下列陈述正确的是（ ）A ．(())y f g x =与()y f x =具有相同数目的不动点B ．(())y f g x =一定有不动点C ．(())y f g x =与()y g x =具有相同数目的不动点D ．(())y f g x =可以无不动点 18．函数 ()1f x =，()2f x =，()3f x ，()4f x =的图像分别是点集C 1，C 2，C 3，C 4，这些图像关于直线x = 0的对称曲线分别是点集D 1，D 2，D 3，D 4，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ） ① D 1⊂D 2 ② D 1∪D 3 = D 2∪D 4 ③ D 4⊂D 3 ④ D 1∩D 3 = D 2∩D 4A ．① ③B ．① ②C ．② ④D ．③ ④ 三、解答题：（本题共有5道大题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分已知关于t 的方程220t t a ++=一个根为1．()a R ∈（1）求方程的另一个根及实数a 的值； （2）若236ax m m x+≥-+在(0,)x ∈+∞上恒成立，试求实数m 的取值范围．20．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分如图在长方体ABCD －1111A B C D 中，11==AA AD ，2AB=，点E 是棱AB 上的动点．（1）若异面直线1AD 与EC 所成角为060，试确定此时动点E 的位置； （2）求三棱锥C －1DED 的体积．CDA 1B 1C 1D 121．（本题满分16分）本题共2小题，第1小题8分，第2小题8分某投资公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资量x 成正比例，其关系如图1，B 产品的利润y 与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22．（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分已知函数()()12log 1f x x =+，当点00()P x y ，在()y f x =的图像上移动时，点001()2x t Q y t R -+∈，（）在函数()y g x =的图像上移动。

（1）若点P 坐标为()1,1-时，点Q 也在()y f x =的图像上，求t 的值；（2）求函数()y g x =的解析式；图2 图1（3）若方程()122log 21x x gx =+的解集是∅，求实数t 的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分记{}p,p qmin p,q q.p q ≤⎧=⎨>⎩．（1）若函数2()(1)3f x min x ⎫=-⎬⎭，求()f x 表达式；（2）求{}121()3,23)3x p x p x p f x min ---=⨯= ，对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；（3）若{}12()3,23)x p x p f x min --=⨯，且()()f a f b =（,a b ，12,p p 为实数，且a b <，()12,,p p a b ∈）求()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）．参考答案一、填空题：本题有14小题，每小题4分，共56分 1．{}2； 2．(,2]-∞； 3．i ； 4．,0x x x <⎧⎪≥； 5．(1,)2π； 6．34-； 7．6； 8．1-；9．34； 10．(,0]t ∈-∞； 11．11[,)62； 12．； 13．200； 14．.3<-+b ； 二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分15．D ； 16．A ； 17．D ； 18．C ；三、解答题：（本题共有5道大题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．解：（1）方程另一个根为1， 3分(1)(14=+-=a 6分 （2） 由236ax m m x+≥-+对(0,)x ∈+∞恒成立， 2min 4[]36x m m x+≥-+ ⇒2436m m ≥-+ 10分是2320[1,2]m m m -+≤⇒∈ 14分20．解：（1）以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系。

设 ()1 ,t ,0E 则()A 1 ,0 ,0，()D 0 ,0 ,0，()1D 0 ,0 ,1，()C 0 ,2 ,0()1D A= 1 ,0 ,-1 ()CE 1 ,t-2,0= 4分根据数量积的定义及已知得:()0 1+0t-20cos 60∴⋅+=t=1 E ∴的位置是AB 中点. 7分（2）11121132311C---DED D --DEC V =V =⋅⋅⋅⋅= 14分21．解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为)(x f 万元，B 产品的利润为)(x g 万元．由题意设x k x f 1)(=，x k x g 2)(=．由图知51)1(=f ，511=∴k 又6.1)4(=g ，542=∴k ．从而)0(51)(≥=x x x f ，)0(54)(≥=x x x g（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入x -10万元，设企业利润为y 万元．x x x g x f y -+=-+=10545)10()()100(≤≤x令t x =-10，则t t y 545102+-=514)2(512+--=t )100(≤≤t 当2=t 时，8.2514max ==y ，此时6410=-=x答：当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．22．解：（1）当点P 坐标为（1-1，），点Q 的坐标为()11 12t -+-，点Q 也在()y f x =的图像上，121log (11)2t ∴-=-+，解得：0t = 4分（2）设( )Q x y ，在()y g x =的图像上，则0012x t x y y -+⎧⎪=⎨=⎪⎩，即{0021x x t y y =+-=’ 7分 而00()P x y ，在()y f x =的图像上， 0102log (1)y x ∴=+代入得，()12()log (2)2t y g x x t x ==+>-为所求 10分（3）原方程可化为2101x t xx x x ⎧⎪=++⎨><-⎪⎩或 22()(1)311x h x x x x x ⎡⎤=-=-+++⎢⎥++⎣⎦令20(1)11x x x x>++≥=+当时时取等号）()3h x ∴≤- 12分②21(1)11x x x x<-++≤-=+当时时取等号）()3h x ∴≥+分 故方程()h x t =的解集为∅时，t 的取值范围为()3-+ 16分23．解：（1）[[2(1)4,)3()222(1)0,4)(1)(1)333x x f x x x x x -∈+∞==⎨⎨-∈⎪⎪->-⎩⎪⎩ 5分（2）由()f x 的定义可知，1()3x p f x -= 这等价于12323x p x p --≤（对所有实数x ）即 123log 2332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. （*） 8分由于 121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -，故（*）等价于1232p p -≤，即123log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件 11分（3）1°如果12p p -32log ≤，则的图象关于直线1x p =对称．因为()()f a f b =，所以区间[],a b 关于直线1x p = 对称．因为减区间为[]1,a p ，增区间为[]1,p b ， 所以单调增区间的长度和为2b a- 14分 2°如果12p p -32log >.（1）当12p p -32log >时.()[][]111113,,3,,x p p xx p b f x x a p --⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，()[][]2323log 222log 223,,3,,x p p x x p b f x x a p -+-+⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ 当[]1,x p b ∈，()()213log 2102331,p p f x f x --=<=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x <，故()()1f x f x ==13x p -,当[]2,x a p ∈，()()123log 2102331,p p f x f x --=>=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x >，故()()2f x f x ==23log 23p x -+因为()()f a f b =，所以231log 233p a b p -+-=，即123log 2a b p p +=++当[]21,x p p ∈时，令()()12f x f x =，则231log 233x p p x -+-=，所以123log 22p p x +-=，当1232log 2,2p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x ≥，所以()()2f x f x ==23log 23x p -+1231log 2,2p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x ≤，所以()()1f x f x ==13p x -()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12312log 22p p b p p +--+-=123log 2222p p a b b a b b +++--=-=16分 （2）当21p p -32log >时.类似可求得：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12321log 22p p b p p ++-+-=123log 222p p b a b +---=综上得()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a- 18分。