2019年上海市建平中学高一数学期末试卷一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）1.已知集合{}1,2,3A =，{}|2B y y x x A ==∈，，则B =．【答案】{}2,4,62.写出命题“若22am bm <，则a b <”的否命题．【答案】若22am bm ≥，则a b≥3.已知关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是1(,2)(,)2∞-+∞ --，则b c +的值为．【答案】724.设函数()f x 的图象关于原点对称，且存在反函数1()f x -．若已知()4=2f ，则1(2)f --=．【答案】4-5.已知幂函数()f x 的部分对应值如下表：x112()f x 122则不等式(||)2f x 的解集是．【答案】[]4,4-6.函数2()ln 32f x x x =--的值域是．【答案】(,ln 2]-∞7.已知当0x >时，函数1()(21)(0,)2xf x a a a =->≠的值总大于1，则函数22x x y a -=的单调增区间是．【答案】(,1]-∞8.乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y （元/吨）与采购量x （吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点)C ．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为吨时，老陈在这次买卖中所获的利润W 最大．【答案】239.已知a R ∈且11a>，则关于x 的不等式2log (57)0a x x -+>的解集为．【答案】2,3（）10.已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3,4,5,6A =，值域为{}7,8,9B =，且对任意的x y <，恒有()()f x f y ，则满足条件的不同函数共有个．【答案】1011.若不等式25|6|x xt <--对于1[,2]2x ∈恒成立，则实数t 的取值范围是．【答案】57,22（）12.设,,a b c 是三个正实数，且2bc a b c a ++=，则393a b c+的最大值为．【答案】3二．选择题（共4小题，满分16分，每小题4分）13.设{}21,M x x a a N *==+∈，{}245,P y y b b b N *==-+∈，*}b N ∈，则下列关系正确的是().A ．M P =B ．M PÜC ．P M ÜD ．M 与P 没有公共元素【答案】B 14.函数()3210y x x =-≤的反函数是().A ．()3(1)1y x x =+≥-B ．()3(1)1y x x =-+≥-C ．()3(1)0y x x =+≥D ．()3(1)0y x x =-+≥【答案】B15.设函数()f x 的定义域为R ，有下列四个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若对任意R ∈x ，有()(2)20f x f x +-+=，则()f x 图像是中心对称图形，且对称中心为()1,1-；（3）若对任意R ∈x ，有(1)(3)0f x f x ---=，则()f x 图像是轴对称图形，且对称轴为1x =；（4）已知(2)y f x =-是R 上的奇函数，则()(4)0f x f x +-=.这些命题中，真命题的个数是().A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A16.已知()f x 为奇函数，当[]0,1x ∈时，1()122f x x =--，当(],1x ∈-∞-，1()1x f x e --=-，若关于x 的不等式()()f x m f x +>有解，则实数m 的取值范围为().A ．(1,0)(0,)-+∞ B ．(2,0)(0,)-+∞ C ．1(ln 2,1)(0,)2---+∞ D ．1(ln 2,0)(0,)2--+∞ 【答案】D【分析】根据函数的奇偶性求出函数()f x 的解析式，然后作出函数的图象，对m 进行分类讨论进行求解即可．【解答】解：若[1x ∈-，0]，则[0x -∈，1]，则11()12||12||22f x x x -=---=-+，()f x 是奇函数，1()12||()2f x x f x ∴-=-+=-，则1()2||12f x x =+-，[1x ∈-，0]，若[1x ∈，)+∞，则(x -∈-∞，1]-，则1()1()x f x e f x -+-=-=-，则1()1x f x e -+=-，[1x ∈，)+∞，作出函数()f x 的图象如图：当0m >时，()f x m +的图象向左平移，此时()()f x m f x +>有解，满足条件．当0m <时，()f x m +的图象向右平移，当()f x m +的图象与()f x 在1x >相切时，1()x f x e -'=，此时对应直线斜率2k =，由12x e -=，即12x ln -=，得21x ln =+．此时121111211x ln y e e -+-=-=-=-=，即切点坐标为(12,1)ln +，设直线方程为2()y x a =-此时12(12)ln a =+-，即1122ln a =+-，得122a ln =+，1022m ln <-<+，得1202ln m --<<，综上1202ln m --<<或0m >综上m 的取值范围是1(22ln --，0)(0⋃，)+∞，故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结三．解答题（共5小题，满分48分）17．（7分）解下列方程：（1）2122xx -=．【答案】1x =-【解析】2122.xx -= 2 1.x x ∴=- 1.x ∴=-（2）239(log )log (3)2x x +=．解：令3log .t x =∴原等式为2112.22t t ++=∴223(23)(1)0.t t t t +-=+-=32t ∴=-或 1.t =39x ∴=或 3.x =18．（8分）设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数2()11g x x =--的定义域为集合N .求：（1）集合M ，R C N ；（2）集合N M ，()R C M N 。

【答案】（1）3(,)2M =+∞，[1,3)R C N =（2）[3,)M N =+∞ ，3()=[1,]2R C M N 19．（9分）已知函数1()log ()1(0,1)22m x f x m m =++>≠的图象恒经过与m 无关的定点A ，（1）求点A 的坐标（2）若偶函数[]2(),12,g x ax bx c x c c =+-∈-的图象过点A ，求,,a b c 的值．【答案】（1）(1,1).A （2）2,0, 1.a b c ===【解析】解：（1）(1,1).A （2） 偶函数定义域应关于原点对称.120. 1.c c c ∴-+=∴=()g x 为偶函数.()()1g 1.0.g b ∴=-∴=()2 1.g x ax ∴=-()g x 过(1,1).A ()11 1. 2.g a a ∴=-=∴=综上所述：2,0, 1.a b c ===20．（本小题满分12分）已知()()x x mf x e m R e=-∈是定义在[]1,1-上的奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求证：()f x 在[]1,1-上是单调递减函数；（3）若2(1)(2)0f a f a -+ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1m =（2）略（3）12[,]22a ∈【解析】（1）解：(0)10. 1.f m m =-=∴= （2）证：任取121 1.x x -≤<≤()()21122121111212221111()()()()=()+x x x x x x x x x x x x x x e e f x f x e e e e e e e e e e e e--=---=-+--⋅21121=()(1)x x x x e e e e-+⋅121 1.x x -≤<≤ 211210,10.x x x x e e e e ∴->+>⋅()()()()12120..f x f x f x f x ∴->∴>∴()f x 在[]1,1-上是单调递减函数.（3）解：22(1)(2)(2).f a f a f a -≤-=- 221(,1][,)12211.(,2].2122[,]22a a a a a a a ⎧∈-∞-+∞⎪⎧-≥-⎪⎪⎪∴-≤∴∈-∞⎨⎨⎪⎪-≥-⎩⎪∈-⎪⎩ 12[,].22a ∴∈21．（本小题共12分）设)(x f 是定义在[]0,1上的函数，若存在*(0,1)x ∈使得)(x f 在0,x *⎡⎤⎣⎦上单调递增，在,1x *⎡⎤⎣⎦上单调递减，则称)(x f 为[]0,1上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.（1）判断下列函数是否为单峰函数：①()[]2,0,141x f x x x =∈+；②()[]212,0,1x x f x x -+=∈；③()[]121log (1),0,13f x x x =-+∈；④()[]41(),0,1.4f x x x =-∈对任意的[]0,1上的单峰函数)(x f ，下面研究缩短其含峰区间长度l （区间长度l 等于区间的右端点与左端点之差）.（2）证明：对任意的1212,(0,1),,x x x x ∈<若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x ≤，则1(,1)x 含峰区间；（3）对给定的()00.5r r <<，证明：存在12,(0,1)x x ∈，满足212x x r -≥，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于0.5.r +【答案】（1）①③是；②④不是.（2）略（3）略【解析】（1）解：①③是；②④不是.（2）证：设'x 为()f x 的峰点,则由单峰函数定义可知,()f x 在[0,']x 上单调递增,在[',1]x 上单调递减.当12()()f x f x ≥时,假设2'(0,)x x ∉,则12',x x x <≤从而21(')()(),f x f x f x ≥>这与12()()f x f x ≥矛盾,所以2'(0,)x x ∈,即2(0,)x 是含峰区间.当12()()f x f x ≤时,假设1'(,1)x x ∉,则12'x x x ≤<,从而12(')()(),f x f x f x ≥>这与12()()f x f x ≤矛盾,所以1'(,1)x x ∈,即1(,1)x 是含峰区间.（3）证：由（2）的结论可知：当12()()f x f x ≥时,含峰区间的长度为12;l x =当12()()f x f x ≤时,含峰区间的长度为211.l x =-对于上述两种情况,由题意得210.510.5x rx r≤+⎧⎨-≤+⎩ ①由①得21112x x r +-≤+,即212.x x r -≤又因为212x x r -≥,所以212x x r -= ②将②代入①得120.5,0.5x r x r ≤-≥+ ③由①和③解得120.5,0.5.x r x r =-=+所以这时含峰区间的长度120.5l l r ==+,即存在12,x x 使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5.r +。