a k y(n k ) a k 1 y(n k 1) ... a1 y(n 1) a 0 y(n) bm x(n m ) ... b1 x(n 1) b0 x(n)
(a k E k a k 1 E k 1 ... a1 E a 0 ) y( n) (bm E m ... b1 E b0 ) x( n)
§3.4 离散时间系统的差分方பைடு நூலகம் 一 差分方程
一阶前向差分： x(n)=x(n+1)-x(n) 一阶后向差分： x(n)=x(n)-x(n-1)
例：某信号处理的过程是：每收到一个数据，就将此数据与 前一步的处理结果求平均，试建立输入输出的差分方程。
1 1 一阶后向差分方程 y( n 1) x( n) 2 2 1 1 y( n 1) y( n) x( n 1) 一阶前向差分方程 2 2 y( n)
一阶后向差分方程
dy( t ) 对于一阶微分方程描述 的系统： y( t ) x( t ) dt
因为
dy( t ) y( nT ) y[( n 1)T ] lim dt T T 0
y( n) y( n 1) y( n) x( n) T 一阶差分方程 1 T y( n) y( n 1) x ( n) 1 T 1 T dy( t ) dy( t ) dt t nT dt t ( n1)T d 2 y( t ) d dy( t ) 对于二阶： 2 dt dt t nT T dt t nT
y( n) y( n 1) y( n 1) y( n 2) 1 T T 2 y( n) 2 y( n 1) y( n－2) T T 离散系统 差分方程可以描述：
作为微分方程的近似方程来进行连续系统的数字仿真
离散系统 差分方程可以描述： 作为微分方程的近似方程来进行连续系统的数字仿真
例：y(n)表示一个国家第n年的人口数，出生率为a，死亡率 为b（a、b为常数），x(n)表示移民来的净增数，建立描述 该国人口的差分方程。
y( n 1) (1 a b) y( n) x( n) 一阶前向差分方程
y( n) (1 a b) y( n 1) x( n 1)
D(E) N(E)
N(E) y ( n) x ( n) H ( E ) x ( n) D( E )
称H(E)为传输算子,或者转移算子。代表了系统对输入的传输作用，或 系统将输入转移为输出的作用。
上例中，
1 1 y( n) y( n 1) x( n) 2 2 1 1 y ( n ) E 1 y ( n ) x ( n ) 2 2
输入是离散序列及其时移函数
输出是离散序列及其时移函数
系统模型是输入输出的线性组合
二 离散系统的传输算子
单位超前算子E：表示左移一位的运算。
Ex( n) x( n＋1)
E k x(n) x(n＋k )
单位延迟算子E-1：表示右移一位的运算。 E 1 x(n) x(n 1) E k x(n) x(n k )
前向差分方程式
a k y( n k ) a k 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a 0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
后向差分方程式
a k y( n k ) a k 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a 0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
x(n)
H(E)
y(n)
H(E)
12 E 1 2E 1 1 E 1 2
三 差分方程的求解方法
1.时域经典法
2.零输入响应与零状态响应 3.递推求解方法 4.其他方法
1 1 例：因果系统 y( n) y( n 1) x( n) 求输入x(n)=(t)时的响应。 2 2